Atelier découverte · Mathématiques
Angles et symétrie
Pose un rapporteur sur un angle et lis sa mesure. Déchire les coins d’un triangle et mets-les côte à côte : que forment-ils ? Plie des papillons, des lettres et des panneaux pour trouver leurs axes de symétrie. Puis démontre pourquoi, et découvre la règle que suit la lumière sur un miroir.
Fais glisser le rapporteur pour poser sa croix sur le sommet O, puis tourne-le avec une poignée ↻. Il s’accroche quand il est bien placé. Le point B se déplace aussi. Au clavier : Tab jusqu’au rapporteur, flèches pour le déplacer, Page haut et Page bas pour le tourner.
Touche la feuille pour poser un point (12 au plus) ; fais-le glisser pour le déplacer. Le rond au milieu de l’axe le déplace, les poignées ↻ le font tourner.
Déplace l’axe (le rond du milieu) et fais-le tourner (les poignées ↻). L’image de la figure est dessinée en pointillés : quand elle se superpose à la figure, tu as trouvé un axe de symétrie.
Fais glisser le point vert : il s’accroche aux croisements des carreaux.
Fais glisser les sommets. Au clavier : Tab jusqu’à un sommet, puis les flèches.
Tire la poignée devant le laser, ou utilise le curseur. Les angles d’incidence (i) et de réflexion (r) se mesurent depuis la normale, en pointillés.
Palier 1 · DécouvrirMesurer un angle, plier une figure
Le rapporteur
- Un angle, c’est l’ouverture entre deux demi-droites qui partent d’un même point, le sommet. Ici, le sommet s’appelle O.
- Fais glisser le rapporteur pour poser sa petite croix, au milieu de la base, pile sur le sommet O.
- Tourne-le avec une poignée ↻ jusqu’à ce que la ligne du 0 passe par un côté de l’angle.
- Suis l’autre côté jusqu’aux graduations, en le prolongeant si besoin (les pointillés). Lis le nombre sur la graduation qui part du 0 de ton premier côté.
Un angle droit mesure 90°, comme le coin d’une feuille. Plus fermé, l’angle est aigu ; plus ouvert, il est obtus. Quand les deux côtés forment une ligne droite, c’est un angle plat : 180°.
Le second côté passe par 40 sur une graduation et par 140 sur l’autre. L’angle est plus ouvert qu’un angle droit. Il mesure…
40° est plus fermé qu’un angle droit (90°). Or cet angle est plus ouvert : c’est l’autre graduation qu’il fallait lire.
Oui. Les deux graduations font toujours 180 à elles deux : 40 + 140 = 180. Un coup d’œil suffit pour choisir : angle aigu, moins de 90 ; angle obtus, plus de 90.
180°, c’est un angle plat : les deux côtés forment une ligne droite. Ici, il faut choisir entre 40 et 140.
Deux angles ont la même ouverture, mais les côtés du second sont deux fois plus longs. Le second angle est…
Essaie : affiche la mesure, puis appuie sur « Côtés courts ». La mesure change-t-elle ?
Oui. Un angle mesure l’ouverture entre ses côtés, pas leur longueur. Un côté est une demi-droite : on peut toujours le prolonger, c’est ce que montrent les pointillés.
Essaie : affiche la mesure, puis appuie sur « Côtés courts ». Les côtés raccourcissent, mais l’ouverture ?
La symétrie : plier sans rien changer
- Ouvre la symétrie. La ligne violette est l’axe : imagine une feuille pliée le long de cette ligne.
- Touche la feuille pour poser des points : chacun a aussitôt son image, de l’autre côté de l’axe. Avec « Relier les points », dessine la moitié d’un papillon ou d’une maison.
- Déplace l’axe et fais-le tourner : regarde comment les images bougent.
- Passe aux figures : papillon, lettres, panneaux. Cherche les positions de l’axe où la figure et son image se superposent : ce sont ses axes de symétrie.
Combien d’axes de symétrie la lettre H a-t-elle ? Vérifie dans les figures.
Charge le H dans les figures et place l’axe à la verticale, au milieu de la lettre.
Il y a bien l’axe vertical. Essaie aussi un axe horizontal, le long de la barre du milieu.
Oui : un axe vertical et un axe horizontal. La lettre N, elle, n’en a aucun : essaie-la !
Essaie les diagonales : l’image du H penche, elle ne retombe pas sur la lettre.
Une vraie feuille d’arbre ou un vrai papillon sont-ils parfaitement symétriques ?
Regarde de près une vraie feuille : les nervures ne tombent pas tout à fait en face, un bord est un peu plus large. Nos dessins sont parfaits ; la nature, presque.
Oui. Le corps d’un papillon, comme le nôtre, est fait de deux moitiés presque pareilles. Mais rien de vivant n’est parfaitement symétrique : la symétrie exacte est un modèle de mathématicien.
Palier 2 · Comprendre180° dans tous les triangles
Les badges comme 6e disent où chaque notion se trouve dans le programme. Ce n’est pas une limite : si tu as compris, continue !
Déchire les coins 6e
- Ouvre le triangle. Fais glisser ses sommets : un triangle pointu, un triangle presque plat, un triangle avec un angle droit.
- Les trois angles changent tous. Et leur total ?
- Appuie sur « Déchirer les coins » : les trois coins sont découpés et posés côte à côte, sans être retournés.
Prédis avant d’essayer : si tu agrandis beaucoup un triangle, la somme de ses trois angles…
Garde ton idée et vérifie : écarte les sommets pour agrandir le triangle, regarde le total, puis déchire les coins.
Essaie plusieurs triangles, puis complète.
Les trois coins, mis côte à côte, forment un angle , qui mesure .
Il reste un trou à remplir.
Un angle droit, c’est un quart de tour, le coin d’une feuille. Les coins déchirés forment-ils un coin, ou une ligne droite ?
Un angle plein fait un tour complet. Regarde : les coins ne remplissent que le dessus de la ligne.
90°, c’est l’angle droit. Les coins font une ligne droite : un demi-tour.
360°, c’est un tour complet : deux fois trop.
Oui : dans tous les triangles, petits ou grands, pointus ou aplatis, les trois angles font 180° à eux trois.
Comparer avec la règle
Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut 180°. Au rapporteur, on trouve parfois 179° ou 181° : ce sont les arrondis de la mesure, pas le triangle.
La somme des angles d’un triangle 6e
angle A + angle B + angle C = 180°
Si tu connais deux angles, le troisième se calcule sans rapporteur : 180 − (premier + deuxième). Exemple : 50° et 60°, donc 180 − 110 = 70°.
Un triangle a un angle droit et un angle de 35°. Le troisième angle mesure…
Oui : 180 − 90 − 35 = 55. Dans un triangle rectangle, les deux autres angles font toujours 90° à eux deux.
180 − 35 = 145 : tu as oublié d’enlever l’angle droit, 90°.
90 + 35 = 125 : c’est la somme des deux angles connus. Il reste à l’enlever de 180.
Tu es parti de 360°. Un tour complet, c’est 360° ; les trois angles d’un triangle, 180°.
Un triangle peut-il avoir deux angles droits ?
90 + 90 = 180 : il ne resterait rien pour le troisième angle. Essaie de dessiner deux angles droits sur un même côté : que font les deux autres côtés ?
Exact : les deux autres côtés seraient parallèles et ne se rencontreraient jamais. Un triangle a au plus un angle droit, et au plus un angle obtus.
Un triangle isocèle a deux côtés égaux et deux angles égaux, à la base. Son troisième angle, au sommet, mesure 40°. Chaque angle de la base mesure…
40°, c’est l’angle au sommet. Les deux angles de la base sont égaux entre eux, pas à celui-là.
Oui : 180 − 40 = 140, partagé en deux, 70° chacun. Pourquoi égaux ? Un triangle isocèle a un axe de symétrie : plié le long de cet axe, ses deux angles de base se superposent.
140°, c’est la somme des deux angles de la base. Ils sont égaux : partage en deux.
Tu es parti de 360 : (360 − 40) ÷ 2. Dans un triangle, le total est 180.
L’image d’un point 6e
- Ouvre la symétrie, en mode Points. Pose un point, puis fais tourner l’axe.
- Regarde les pointillés qui relient le point à son image : à quel endroit coupent-ils l’axe, et avec quel angle ?
- Compare les distances à l’axe, écrites sous le dessin.
Complète la règle.
Un point et son image sont à la même . Le segment qui les relie coupe l’axe , en son .
Il reste un trou à remplir.
Avec un axe vertical, c’est vrai. Mais fais tourner l’axe : l’image change de hauteur. Ce qui reste égal, c’est autre chose.
Fais tourner l’axe et regarde le petit carré, au croisement des pointillés et de l’axe : quel angle marque-t-il ?
L’axe coupe les pointillés entre le point et son image, à égale distance des deux.
C’est ça. Une droite perpendiculaire à un segment en son milieu s’appelle la médiatrice de ce segment.
Comparer avec la règle
L’image P′ d’un point P est le point tel que l’axe soit la médiatrice de [PP′] : perpendiculaire à [PP′], en son milieu. Pour la construire : on trace depuis P la perpendiculaire à l’axe, puis on reporte la même longueur de l’autre côté.
Une figure et son image ont-elles les mêmes longueurs et les mêmes angles ?
Oui : la symétrie retourne la figure comme une feuille pliée, sans rien étirer. Un segment de 5 cm a une image de 5 cm, un angle de 40° une image de 40°.
Si toutes les longueurs restent les mêmes, la forme ne peut pas changer. Compare un coin de la lettre E avec son image.
Charge le papillon ou une lettre et regarde l’image en pointillés : elle est retournée, mais est-elle étirée ?
Palier 3 · Aller plus loinProuver, généraliser, se servir de la symétrie
Pourquoi 180° ? La preuve par la parallèle 5e
- Ouvre le triangle et appuie sur « Tracer la parallèle » : une droite verte passe par A, parallèle au côté [BC].
- En A, le long de cette droite, trois angles se suivent. Celui de gauche a la couleur de B, celui de droite la couleur de C.
- Déforme le triangle : les angles de même couleur restent égaux.
Pourquoi ? Le côté (AB) coupe les deux parallèles et forme avec elles un « Z » : ses deux angles, de part et d’autre de (AB), s’appellent des angles alternes-internes. Quand les droites sont parallèles, ils sont égaux. Même chose avec (AC). En A, les trois angles forment donc un angle plat : B + A + C = 180°. C’est une démonstration : elle vaut pour tous les triangles, pas seulement pour ceux qu’on a essayés.
Complète la propriété.
Deux droites parallèles coupées par une troisième droite forment des angles alternes-internes .
Il reste un trou à remplir.
Regarde les couleurs sur le triangle : l’angle de gauche en A et l’angle B forment le « Z ». Leurs mesures s’additionnent-elles à 180, ou sont-elles pareilles ?
Déforme le triangle : les angles du « Z » changent, ils ne restent pas droits. Mais ils restent…
Oui. Et dans l’autre sens : si deux angles alternes-internes sont égaux, les droites sont parallèles.
Comparer avec la règle
Si deux droites sont parallèles, une sécante forme avec elles des angles alternes-internes égaux, et réciproquement. Ératosthène s’en est servi pour mesurer le tour de la Terre : voir l’atelier Mesurer la Terre avec une ombre.
Cette preuve s’appuie sur une propriété des parallèles admise depuis Euclide. Sur une sphère, où les « droites » sont de grands cercles, elle ne tient plus : regarde dans « Le savais-tu ? ».
Et les polygones ? pour aller plus loin
- Dans le triangle, choisis 4, 5 ou 6 côtés. Déforme la figure en tirant ses sommets.
- Depuis le sommet A, des diagonales découpent la figure en triangles. Compte-les.
- Chaque triangle apporte 180°.
Somme des angles d’un polygone à n côtés
(n − 2) × 180°
Un polygone à n côtés se découpe en n − 2 triangles depuis un sommet : 1 pour un triangle, 2 pour un quadrilatère, 3 pour un pentagone. La règle vaut aussi pour un polygone qui a un creux, du moment que ses côtés ne se croisent pas ; ici, le banc garde les figures sans creux.
Les cinq angles d’un pentagone font, ensemble…
360°, c’est un quadrilatère : 2 triangles. Un pentagone en contient un de plus.
Oui : 3 triangles, 3 × 180 = 540.
720°, c’est un hexagone : 4 triangles. Choisis 5 côtés et compte les triangles.
5 × 180 = 900 : un triangle par côté, c’est trop. Depuis un sommet, les diagonales n’en découpent que 3.
La lumière et le miroir 2de
- Ouvre le miroir. Un laser envoie un rayon de lumière sur un miroir plat.
- La normale, en pointillés, est perpendiculaire au miroir, là où le rayon le touche. Les angles se mesurent depuis elle.
- Change l’inclinaison du laser et compare l’angle d’incidence i à l’angle de réflexion r.
La loi de la réflexion
i = r
- i
- l’angle d’incidence, entre le rayon qui arrive et la normale.
- r
- l’angle de réflexion, entre le rayon qui repart et la normale.
Avec « Montrer les images », prolonge le rayon réfléchi derrière le miroir : il semble venir d’un point placé juste en face du laser, à la même distance du miroir. C’est l’image du laser : son symétrique par rapport au miroir. Voilà pourquoi ton reflet paraît aussi loin derrière la glace que toi devant.
Si l’angle d’incidence augmente de 10°, l’angle de réflexion…
Oui : r reste égal à i. Le rayon réfléchi s’écarte de la normale autant que le rayon qui arrive.
Essaie avec le curseur : quand le rayon qui arrive s’écarte de la normale, que fait celui qui repart ?
Bouge le curseur et lis i et r sous le dessin : r reste-t-il fixe ?
Pour toucher la cible du premier coup, où faut-il viser avec le laser ?
Le bon point du miroir dépend des places du laser et de la cible. Montre les images et cherche une ligne droite.
Oui. Le rayon qui va vers l’image de la cible frappe le miroir pile au bon endroit, puis repart vers la cible. Essaie : montre les images et vise le rond pâle.
En ligne droite, le rayon passe au-dessus du miroir sans le toucher. Il faut qu’il rebondisse : vers où viser pour cela ?
Tes missions
Voici les missions du palier choisi. Réponds, puis clique sur « Valider ma réponse ». Si ce n’est pas encore ça, un indice t’aide. Après trois essais, tu peux voir la solution.
Le savais-tu ?
Des angles sur une sphère, des abeilles, des flocons et des miroirs.
Les mots de l’atelier
Chaque mot, en une ou deux phrases.
- Angle
- L’ouverture entre deux demi-droites qui partent d’un même point, le sommet. On le mesure en degrés.
- Degré (°)
- L’unité des angles : un tour complet fait 360°, un demi-tour 180°, un quart de tour 90°.
- Aigu, droit, obtus, plat
- Un angle droit mesure 90°. Un angle aigu est plus petit, un angle obtus plus grand. Un angle plat mesure 180° : ses côtés forment une ligne droite.
- Rapporteur
- L’instrument qui mesure les angles. Il a deux graduations de 0 à 180, qui partent chacune d’un bout de la base.
- Triangle isocèle
- Un triangle qui a deux côtés de même longueur. Il a un axe de symétrie, et ses deux angles de base sont égaux.
- Droites parallèles
- Deux droites qui ne se coupent jamais, comme les deux rails d’une voie de train.
- Angles alternes-internes
- Les deux angles d’un « Z » : une droite coupe deux autres droites, et les angles sont entre elles, de part et d’autre de la sécante. Ils sont égaux quand les deux droites sont parallèles.
- Démonstration
- Un raisonnement qui prouve qu’une propriété est vraie dans tous les cas, pas seulement dans ceux qu’on a essayés.
- Polygone
- Une figure fermée faite de segments : triangle (3 côtés), quadrilatère (4), pentagone (5), hexagone (6)…
- Symétrie axiale
- Le pliage le long d’une droite, l’axe : chaque point va de l’autre côté, à la même distance de l’axe.
- Axe de symétrie d’une figure
- Une droite telle que la figure, pliée le long de cette droite, retombe exactement sur elle-même.
- Médiatrice
- La droite perpendiculaire à un segment, en son milieu. L’axe de symétrie est la médiatrice du segment qui relie un point à son image.
- Normale
- La droite perpendiculaire à un miroir, à l’endroit où le rayon le touche. Les angles d’incidence et de réflexion se mesurent depuis elle.
Pour les parents et les enseignantsouvrir
Objectifs
- Mesurer et construire un angle au rapporteur, en choisissant la bonne graduation ; savoir qu’un angle ne dépend pas de la longueur de ses côtés.
- Découvrir que la somme des angles d’un triangle vaut 180°, l’utiliser pour calculer un angle, puis la démontrer avec une parallèle et les angles alternes-internes.
- Construire l’image d’un point par une symétrie axiale, y compris avec un axe oblique ; reconnaître les axes de symétrie d’une figure.
- Prolonger : somme des angles d’un polygone, loi de la réflexion et image dans un miroir plan.
Déroulé (15 à 20 minutes)
Palier 1 : manipuler un rapporteur virtuel, plier des points et des figures. Palier 2 : la somme des angles d’un triangle (coins déchirés, calculs), l’image d’un point et la médiatrice. Palier 3 : la démonstration par la parallèle, les polygones et le miroir.
Les pièges visés
Lire la mauvaise graduation du rapporteur (52° au lieu de 128°) ; croire qu’un angle grandit avec ses côtés (Devichi et Munier, 2013) ; partir de 360° au lieu de 180° ; placer l’image d’un point « à la même hauteur » ou « à la verticale » quand l’axe est oblique, erreurs décrites par Denise Grenier (1988) ; confondre angles alternes-internes et angles supplémentaires ; mesurer l’angle de réflexion depuis le miroir au lieu de la normale. Les indices des missions repèrent ces erreurs et les nomment.
Liens avec les programmes
- CM2 (mathématiques, cycle 3, 2025, vérifié) : « Savoir qu’un angle droit mesure 90° » ; « L’utilisation d’un instrument de mesure des angles (rapporteur) ne relève pas du CM2 et sera introduite au collège ».
- 6e (mathématiques, cycle 3, 2025, vérifié) : « Mesurer un angle », « Construire un angle de mesure donnée » ; « Connaître la valeur de la somme des mesures des angles d’un triangle » ; « Connaître la définition de la médiatrice d’un segment » ; « Connaître la définition du symétrique d’un point par rapport à une droite » ; automatisme : « Il reconnaît si une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie ».
- 5e (mathématiques, cycle 4, 2026, vérifié) : « Connaitre la somme des angles d’un triangle et savoir la démontrer » ; « Caractériser le parallélisme par les angles : angles alternes internes, angles correspondants » ; automatisme : construire le symétrique d’une figure par rapport à un axe « vertical, horizontal, ou en diagonale sur quadrillage ». Prolongements proposés : « Éléments d’Euclide (Livre I, proposition 27 ou 28) » ; « Lien avec les formes vues dans la nature : flocon, alvéoles d’abeilles, fleurs ».
- Physique-chimie, cycle 4 (2015, consolidé en 2020, vérifié) : « L’exploitation de la propagation rectiligne de la lumière dans le vide et le modèle du rayon lumineux peut conduire à travailler sur les ombres, la réflexion et des mesures de distance ». La loi i = r elle-même est en seconde (programme de 2019, vérifié) : « Lois de Snell-Descartes pour la réflexion et la réfraction ».
- Hors programme (vérifié) : la somme des angles d’un polygone, (n − 2) × 180°, ne figure ni dans le programme de 6e ni dans celui de 5e. Elle est proposée ici comme prolongement du découpage en triangles.
Références : programme de mathématiques du cycle 3, arrêté du 10 avril 2025 ; programme de mathématiques du cycle 4, arrêté du 18 février 2026 ; programme de physique-chimie du cycle 4 (arrêté du 9 novembre 2015, version consolidée de 2020) ; programme de physique-chimie de seconde, arrêté du 17 janvier 2019. Citations relues dans les annexes officielles le 1er octobre 2026.
À faire en vrai
Découpez un triangle dans du papier, coloriez ses trois coins, déchirez-les et alignez-les au bord d’une règle. Pliez une feuille, découpez une forme le long du pli et ouvrez-la. Avec un miroir de poche et une lampe torche dans une pièce sombre, regardez la tache de lumière renvoyée au plafond quand on incline la lampe.
Ce que l’atelier simplifie
Le rapporteur s’accroche au sommet et aux côtés quand il en est tout proche, et le point B tourne de degré en degré, pour que les mesures tombent juste. Les angles du triangle sont affichés au degré près ; la somme exacte, calculée par le modèle, vaut toujours 180°. Les figures (papillon, feuille, panneaux) sont des dessins simplifiés et parfaitement symétriques ; dans la nature, la symétrie n’est jamais exacte. Le miroir est le rayon réfléchi par le traceur de rayons du laboratoire La lumière ; le pourcentage renvoyé par une simple vitre vient des formules de Fresnel du même modèle (verre BK7, lumière verte).
Sources
Les angles, les symétries et les axes viennent du modèle de l’atelier (modele.js), vérifié dans node ; le miroir et la vitre viennent du modèle du laboratoire La lumière (light.js).
- Ministère de l’Éducation nationale. Programme de mathématiques du cycle 3 (arrêté du 10 avril 2025) ; programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 18 février 2026) ; programme de physique-chimie du cycle 4 (2015, consolidé en 2020) ; programme de physique-chimie de seconde (arrêté du 17 janvier 2019).
- Euclide (vers 300 av. J.-C.). Les Éléments, livre I : propositions 27 et 29 (parallèles et angles alternes-internes), proposition 32 (les angles d’un triangle valent deux droits). Traduction française de B. Vitrac, PUF, 1990–2001.
- Devichi C., Munier V. (2013). About the concept of angle in elementary school: Misconceptions and teaching sequences. The Journal of Mathematical Behavior 32 (1) : 1–19.
- Grenier D. (1988). Construction et étude du fonctionnement d’un processus d’enseignement sur la symétrie orthogonale en sixième. Thèse, université Joseph-Fourier, Grenoble. Résultats repris par Chaachoua Y. (2007), Grand N 79 : 61–83 (rappel horizontal ou vertical, distance gardée le long d’une direction qui n’est pas perpendiculaire à l’axe).
- Hecht E. (2017). Optics, 5e éd., Pearson : loi de la réflexion, miroirs plans, formules de Fresnel. Méthode du modèle light.js du laboratoire La lumière.
- Héron d’Alexandrie (Ier siècle). Catoptrique : la lumière réfléchie par un miroir suit le chemin le plus court.
- Girard A. (1629). Invention nouvelle en l’algèbre : la somme des angles d’un triangle sphérique dépasse 180° d’une quantité proportionnelle à son aire.
- Neugebauer O. (1975). A History of Ancient Mathematical Astronomy. Springer : le zodiaque babylonien de 12 signes de 30 degrés.
- Hales T. C. (2001). The Honeycomb Conjecture. Discrete & Computational Geometry 25 : 1–22.
- Libbrecht K. G. (2005). The physics of snow crystals. Reports on Progress in Physics 68 : 855–895.
- Instruction interministérielle sur la signalisation routière : panneaux AB4 (Stop), AB3a (Cédez le passage), B1 (Sens interdit), AB6 (route prioritaire), A14 (autres dangers). Les dessins de l’atelier sont simplifiés.