Atelier découverte · Informatique
Compter avec des 0 et des 1
Cinq cartes. Sur chacune, des points d’un côté, rien de l’autre. En les retournant, tu peux écrire tous les nombres de 0 à 31. C’est ainsi que comptent les ordinateurs : en binaire, avec seulement deux chiffres.
Touche une carte pour la retourner.
carte visible = 1 = lampe allumée · carte cachée = 0 = lampe éteinte
Comme code de caractère
Palier 1 · DécouvrirDes cartes à points
Retourne les cartes
- Touche une carte : elle se retourne. Face visible, ses points comptent. Face cachée, elle ne compte pas.
- Retourne plusieurs cartes et additionne les points visibles : c’est le nombre que montrent les cartes.
- Essaie de fabriquer 5, puis 10, puis 20.
Regarde les points des cartes, de droite à gauche : 1, 2, 4, 8, 16. Comment passe-t-on d’une carte à la suivante ?
De 1 à 2, on ajoute bien 1. Mais de 2 à 4 ? De 4 à 8 ? Regarde encore.
De 2 à 4, on ajoute 2. Mais de 4 à 8, on ajoute 4, et de 8 à 16, on ajoute 8. Ce n’est pas toujours « + 2 ».
Oui : 1, 2, 4, 8, 16. Chaque carte a deux fois plus de points que sa voisine de droite.
Rien n’est au hasard : compare chaque carte avec sa voisine de droite.
On pose une 6e carte à gauche de celle de 16. Combien de points aura-t-elle ?
Ce n’est pas « + 1 » : regarde comment on passe de 8 à 16.
Ce n’est pas « + 4 » : regarde comment on passe de 8 à 16.
16 + 8 ? On ne fait pas la somme des deux dernières cartes : on double la dernière.
Oui : 16 × 2 = 32. Vérifie : touche le bouton « + » à côté de « Cartes ».
Une seule façon pour chaque nombre
Fabrique 7 avec les cartes. Puis cherche une autre façon de faire 7.
Peut-on fabriquer 7 de deux façons différentes avec ces cartes ?
Essaie vraiment : 4 + 2 + 1 = 7. Sans la carte de 4, les cartes de 2 et de 1 ne font que 3. Avec la carte de 8, on dépasse déjà 7. Et chaque carte n’existe qu’une fois.
Exact : 7 = 4 + 2 + 1, et il n’y a pas d’autre façon. Chaque nombre s’écrit d’une seule façon avec les cartes.
Combien de nombres ?
Change le nombre de cartes avec − et +. Avec 1 carte, on montre 0 ou 1 : 2 nombres. Avec 2 cartes : 0, 1, 2 ou 3, soit 4 nombres.
Et avec 3 cartes, combien de nombres différents peut-on montrer ?
Ce n’est pas 2 + 2 + 2. Compte-les vraiment, en partant de 0.
7 est le plus grand nombre (4 + 2 + 1). Mais les cartes montrent aussi 0, quand elles sont toutes cachées.
Oui : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Avec 1 carte, 2 nombres ; avec 2 cartes, 4 ; avec 3 cartes, 8. Que se passe-t-il à chaque carte de plus ?
Compte-les de 0 à 7.
Palier 2 · ComprendreÉcrire en binaire
La règle des cartes
Chaque carte vaut le double de sa voisine de droite : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Une carte visible s’écrit 1, une carte cachée 0.
La rangée 10110 veut dire : 16 oui, 8 non, 4 oui, 2 oui, 1 non. Elle vaut 16 + 4 + 2 = 22.
Écrire les nombres avec deux chiffres seulement, 0 et 1, c’est le binaire (du latin binarius, « qui va par deux »). Chaque chiffre binaire s’appelle un bit.
Lire un nombre binaire
1×16 + 0×8 + 1×4 + 1×2 + 0×1 = 22
- 0 1
- les bits, lus de gauche à droite : 1 = carte visible, 0 = carte cachée.
- 16…1
- les poids des places : chaque place vaut le double de celle de droite.
En décimal, c’est la même idée avec 10 : 352 = 3 × 100 + 5 × 10 + 2 × 1. Chaque place vaut dix fois celle de droite, et il faut dix chiffres, de 0 à 9. En binaire, deux chiffres suffisent.
La méthode de la plus grande carte
Pour écrire un nombre en binaire :
- Prends la plus grande carte qui ne dépasse pas ton nombre, et retourne-la.
- Retire ses points de ton nombre : il te reste un nombre plus petit.
- Recommence avec ce reste, jusqu’à ce qu’il reste 0.
Exemple avec 22 : la carte de 16 (reste 6), puis celle de 4 (reste 2), puis celle de 2 (reste 0). Résultat : 10110.
Une suite d’étapes précises qui marche pour tous les nombres, c’est un algorithme.
Avec la méthode, comment s’écrit 19 en binaire ?
C’est à l’envers : 11001 vaut 16 + 8 + 1 = 25. Le chiffre de droite est la carte de 1 point.
Oui : 19 = 16 + 2 + 1 (la carte de 16, reste 3 ; la carte de 2, reste 1 ; la carte de 1, reste 0).
10101 vaut 16 + 4 + 1 = 21. Après la carte de 16, il reste 3 : la carte de 4 dépasse.
En binaire, il n’y a que deux chiffres : 0 et 1. Pas de 9 !
Pourquoi chaque carte double le nombre de nombres
Ajoute une carte à gauche. Tous les nombres d’avant sont encore possibles, avec la nouvelle carte cachée. Et on les retrouve tous une deuxième fois, avec la nouvelle carte visible. Une carte de plus, c’est donc deux fois plus de nombres.
Avec n cartes, combien de nombres, et jusqu’où ? Complète la règle.
Avec n cartes, on peut montrer nombres différents, de 0 jusqu’à .
Il reste un trou à remplir.
2 × n, ce serait « 2 nombres de plus » à chaque carte : 2, 4, 6, 8… Mais avec 3 cartes on en a 8, pas 6. Chaque carte double.
Avec 3 cartes, n + 2 donnerait 5 nombres. Or on en compte 8, de 0 à 7.
Avec 3 cartes : 8 nombres, mais le plus grand est 7 (4 + 2 + 1). Le premier nombre est 0, pas 1.
Avec 3 cartes : 8 nombres, et le plus grand est 7, pas 9. On commence à compter à 0.
C’est la règle ! Avec 3 cartes : 2 × 2 × 2 = 8 nombres, de 0 à 7.
Comparer avec la règle
Avec n cartes, on montre 2 × 2 × … × 2 (n fois) nombres différents, de 0 jusqu’à ce nombre moins 1. En 4e, on écrira : 2n nombres, de 0 à 2n − 1.
Au CM2, on étudie la suite 7 ; 15 ; 31 ; 63 ; 127. Quel est le nombre suivant ?
127 + 64 ? Regarde plutôt comment on passe de 7 à 15, puis de 15 à 31 : on double, et…
127 × 2 = 254, c’est presque ça. Mais de 7 à 15 : 7 × 2 = 14, et il faut encore ajouter 1.
Oui : 127 × 2 + 1 = 255. Et regarde tes cartes : 7, 15, 31, 63, 127, c’est « toutes les cartes visibles » avec 3, 4, 5, 6 puis 7 cartes.
256 = 128 × 2. Mais la suite fait « le double, plus 1 » : 7 × 2 + 1 = 15.
Compter : +1 et la retenue
En décimal, 9 + 1 = 10 : le 9 repasse à 0, et on retient 1 pour la place de gauche. En binaire, c’est pareil, mais dès 1 : 1 + 1 = 10 (« un, zéro », qui vaut deux). La carte tombe, et la retenue passe à sa voisine de gauche.
Essaie : fabrique 7 (00111), puis appuie sur +1. Trois cartes tombent l’une après l’autre, puis une se lève : 01000, c’est 8.
Avec 5 cartes, on passe de 15 à 16. Combien de cartes changent ?
Une carte se lève, oui. Mais 15, c’est 01111 : que deviennent les cartes déjà visibles ?
Écris 15 et 16 avec les cartes, puis compare-les carte par carte.
Les 4 cartes de droite tombent, c’est vrai. Mais la retenue arrive sur la carte de 16 : que fait-elle ?
Oui : 01111 → 10000. Les 4 cartes de droite tombent, la carte de 16 se lève. Vérifie avec +1 !
Palier 3 · Aller plus loinPuissances de 2, débordements et lettres
Les puissances de 2
Les cartes valent 1, 2, 4, 8… En 4e, on les écrit avec des puissances : 23 = 2 × 2 × 2 = 8, 22 = 4, 21 = 2, et par convention 20 = 1. La carte de rang n, en comptant à partir de 0 depuis la droite, vaut 2n. Ces écritures s’affichent maintenant sous les cartes.
La règle, avec les puissances
n cartes : 2n nombres, de 0 à 2n − 1
- n
- le nombre de cartes, c’est-à-dire de bits.
- 2n
- le nombre de nombres différents : chaque carte double.
- 2n−1
- le plus grand, toutes cartes visibles : on commence à 0.
Attention : 2ⁿ n’est pas 2 × n. Avec 5 cartes, 2 × 5 = 10, mais on montre 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 nombres.
Combien de cartes pour compter jusqu’à… ?
Écris un nombre : le calcul cherche le plus petit nombre de cartes qui y arrive, en doublant les cartes une à une.
Le compteur qui déborde
Dans un ordinateur, un compteur a un nombre de bits fixé à l’avance. Avec 4 cartes, il compte de 0 à 15. Et après 15 ? Les 4 cartes tombent, la retenue sort à gauche… mais il n’y a plus de carte pour la recevoir. Le compteur repart de 0 : c’est un débordement.
Essaie : mets 4 cartes, rends-les toutes visibles, puis appuie sur +1.
Le compteur kilométrique d’une vieille voiture fait pareil en décimal : avec 6 chiffres, après 999 999 km, il affiche 000 000.
Un compteur de 8 cartes affiche 250. On appuie 10 fois sur +1. Qu’affiche-t-il ?
Oui : 251, 252, 253, 254, 255, puis 0, 1, 2, 3, 4. Le compteur a fait un tour complet de 256 nombres : 260 − 256 = 4.
Après 255 vient 0, pas 1 : compte les appuis un par un, à partir de 251.
Le compteur ne s’arrête pas à 255 : au 6e appui, les 8 cartes tombent.
8 cartes ne peuvent pas montrer 260 : toutes visibles, elles font 255.
Des lettres en nombres
Un ordinateur ne range que des bits. Pour écrire un texte, chaque caractère reçoit un numéro : son code. Le code ASCII, créé aux États-Unis dans les années 1960, numérote 128 caractères, de 0 à 127 : 7 cartes suffisent. Unicode, utilisé aujourd’hui presque partout, reprend ces 128 codes tels quels et en ajoute beaucoup d’autres : é = 233.
A a le code 65, B le code 66, C le code 67… et a minuscule le code 97. Mets 7 cartes et fabrique 65 : la lettre s’affiche sous les cartes.
A = 65 = 1000001 et a = 97 = 1100001. Qu’est-ce qui change entre les deux ?
Oui : 97 − 65 = 32. Pour passer d’une majuscule à sa minuscule, on retourne la carte de 32. C’est vrai pour les 26 lettres : Z = 90, z = 122.
Compare les deux écritures chiffre par chiffre : 1000001 et 1100001. Combien de chiffres diffèrent ?
Le chiffre de droite est 1 dans les deux écritures : la carte de 1 ne change pas. Cherche le chiffre qui diffère.
L’atelier Puissances de dix : écrire les très grands et les très petits nombres →
Tes missions
Voici les missions du palier choisi. Réponds, puis clique sur « Valider ma réponse ». Si ce n’est pas encore ça, un indice t’aide. Après trois essais, tu peux voir la solution.
Le savais-tu ?
Des faits vrais, avec leurs sources et les calculs qui les prouvent.
Les mots de l’atelier
Chaque mot, en une ou deux phrases.
- Binaire
- Une façon d’écrire les nombres avec deux chiffres seulement, 0 et 1. Chaque place vaut le double de celle de droite : 1, 2, 4, 8, 16…
- Décimal
- Notre façon habituelle d’écrire les nombres, avec dix chiffres, de 0 à 9. Chaque place vaut dix fois celle de droite : unités, dizaines, centaines…
- Bit
- Un chiffre binaire : 0 ou 1. Le mot vient de l’anglais binary digit, « chiffre binaire ». Dans un circuit, un bit est une tension haute ou basse.
- Octet
- Un groupe de 8 bits. Il peut prendre 256 valeurs, de 0 à 255.
- Poids d’une place
- Ce que vaut un chiffre à cette place : 1, 2, 4, 8… en binaire ; 1, 10, 100… en décimal. C’est le nombre de points de la carte.
- Retenue
- Quand une place déborde (1 + 1 en binaire, 9 + 1 en décimal), on y pose 0 et on ajoute 1 à la place de gauche.
- Débordement
- Quand un résultat ne tient plus dans le nombre de bits prévu : la dernière retenue se perd, et un compteur repart de 0.
- Puissance de 2
- 2 multiplié par lui-même plusieurs fois : 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. Par convention, 2⁰ = 1.
- Code de caractère
- Le numéro donné à une lettre, un chiffre ou un signe pour le ranger en bits : A = 65, a = 97 (ASCII et Unicode), é = 233 (Unicode).
- Algorithme
- Une suite d’étapes précises qui résout un problème pour tous les cas, comme la méthode de la plus grande carte.
Pour les parents et les enseignantsouvrir
Objectifs
- Comprendre qu’on peut écrire tous les nombres avec deux chiffres, 0 et 1, quand chaque place vaut le double de la précédente.
- Lire et écrire un nombre en binaire, avec une méthode sûre (la plus grande carte d’abord) : un premier algorithme.
- Compter les possibles : n cartes donnent 2 × 2 × … × 2 = 2ⁿ nombres, de 0 à 2ⁿ − 1, et ne pas confondre 2ⁿ avec 2 × n.
- Ajouter 1 en binaire avec les retenues, et comprendre le débordement d’un compteur de taille fixe.
- Savoir qu’un texte est rangé en nombres (codes ASCII et Unicode).
Notions
Numération de position, base 2 et base 10, bit, octet, poids, retenue, puissances de 2, débordement, code de caractère, algorithme.
Déroulé (15 à 20 minutes)
Palier 1 : manipuler les cartes, voir le doublement, compter les nombres possibles. Palier 2 : lire et écrire en binaire, la règle des 2ⁿ nombres, ajouter 1 avec les retenues. Palier 3 : combien de bits pour un nombre donné, le débordement, les lettres codées en nombres.
Liens avec les programmes
- Mathématiques, cycle 3 (programme de 2025 ; CM2 en 2026-2027), partie « initiation à la pensée informatique » : au CM2, l’élève travaille « sur des suites évolutives de nombres ou de motifs qui s’appuient sur des algorithmes de plus en plus complexes comme “7 ; 15 ; 31 ; 63 ; 127, etc.” ». Ce sont les nombres « toutes cartes visibles ». Le doublement « 1, 2, 4, 8, 16, etc. » est travaillé dès le CE1. Relu mot à mot dans le texte officiel.
- Mathématiques, cycle 4 : le programme de 2020, encore suivi en 4e et en 3e en 2026-2027, cite la « puissance d’un nombre (exposants entiers, positifs ou négatifs) » ; le programme de 2026 place en 4e (à partir de 2027) « Définir les puissances d’exposant positif d’un nombre a ». Relu dans les textes officiels.
- Algorithmique : « Thème E – Algorithmique et programmation » du cycle 4 (2020) ; en 4e dans le programme de 2026, « Manipuler une variable » et « Écrire des instructions conditionnelles ». La méthode de la plus grande carte et le compteur sont des algorithmes. Relu dans les textes officiels.
- La numération binaire n’est au programme d’aucune classe du collège. Les programmes de mathématiques des cycles 3 (2025) et 4 (2026) ne citent pas le mot ; celui du cycle 4 de 2020 le cite une seule fois, en physique-chimie, pour associer à un signal « une information simple binaire ». Le binaire arrive en SNT (2de) et en NSI (1re : bases 2, 10 et 16). En Angleterre, la conversion entre binaire et décimal est au programme de 11 à 14 ans depuis 2014. Recherche plein texte refaite pour cet atelier ; SNT, NSI et Angleterre d’après la recherche du site.
- Pas de plafond : le niveau affiché est celui des mathématiques utilisées, le doublement au CM2 et les puissances en 4e.
Références : arrêté du 10 avril 2025 (mathématiques, cycle 3) ; arrêté du 18 février 2026 (mathématiques, cycle 4) ; programme du cycle 4 consolidé en 2020 ; arrêtés du 17 janvier 2019 (SNT, NSI de première) ; « National curriculum in England: computing programmes of study » (2013).
À faire en vrai
Découpez cinq cartes et dessinez 1, 2, 4, 8 et 16 points sur une face. Un enfant choisit un nombre de 0 à 31, l’autre le fabrique en retournant les cartes. Puis comptez sur les doigts d’une main en binaire : doigt levé = 1. On va de 0 à 31 sur une main.
Ce que l’atelier simplifie
Les cartes montrent le principe. Dans une machine, un bit est une tension électrique haute ou basse, et un compteur est un circuit (voir le laboratoire Du transistor à l’addition). Les nombres négatifs et les nombres à virgule, codés autrement, ne sont pas traités ici. L’idée des cartes à points vient de l’activité « Count the Dots » de CS Unplugged (Bell, Witten et Fellows) ; aucun texte ni dessin n’en est repris.
Sources
Les calculs viennent du modèle de l’atelier (modele.js), qui reprend l’écriture binaire et l’additionneur du laboratoire Du transistor à l’addition (logic.js).
- Leibniz G.W. (1703). Explication de l’arithmétique binaire, qui se sert des seuls caractères 0 et 1. Mémoires de l’Académie royale des sciences, année 1703, p. 85-89. Paris.
- Shannon C.E. (1948). A mathematical theory of communication. Bell System Technical Journal 27, p. 379-423 et 623-656. Le mot « bit », attribué à J.W. Tukey, p. 380.
- American Standards Association (1963), puis USA Standards Institute (1968). American Standard Code for Information Interchange, X3.4. Unicode Consortium, The Unicode Standard, tableaux « C0 Controls and Basic Latin » (codes 0 à 127) et « Latin-1 Supplement » (128 à 255).
- Lions J.-L. et al. (1996). Ariane 5, Flight 501 Failure: Report by the Inquiry Board. Paris, 19 juillet 1996.
- IEEE Std 1003.1 (POSIX), définition des « secondes depuis l’époque » (1er janvier 1970, 0 h UTC). IEC 80000-13:2008, préfixes binaires (kibi = 1 024).
- Bell T., Witten I.H., Fellows M. CS Unplugged, activité « Count the Dots — Binary Numbers » (licence CC BY-SA) : l’idée des cartes à points.
- Ministère de l’Éducation nationale. Programmes de mathématiques du cycle 3 (arrêté du 10 avril 2025) et du cycle 4 (arrêté du 18 février 2026 ; programme consolidé de 2020), Bulletin officiel de l’Éducation nationale.