Lycée et prépa · Mathématiques
Tests et faux positifs : positif, mais malade ?
Un test « fiable à 99 % » annonce : positif. Quelle est la probabilité d’être vraiment malade ? Pas forcément 99 % : parfois une chance sur deux, parfois bien moins. Fais passer un test à 1 000 personnes, trie-les et compte, puis écris-le avec un tableau croisé et un arbre pondéré : les outils de la seconde suffisent.
Touche une case du tableau, une feuille de l’arbre ou un groupe de points : les trois se répondent.
Palier 1 · DécouvrirPositif… mais malade ?
Un test « fiable à 99 % » 2de
Une maladie touche 1 personne sur 100. Un test la repère chez 99 % des malades, et il est négatif chez 99 % des personnes saines : on le dit souvent « fiable à 99 % ». Ce test est imaginaire ; ses nombres ronds rendent le calcul plus simple. Une personne passe le test, et il est positif.
Ton pronostic : la probabilité que cette personne soit vraiment malade est d’environ…
C’est noté. Vérifie sur le banc, avec 1 000 personnes : parmi les testés positifs, combien sont vraiment malades ?
- Clique sur « Régler le banc » ci-dessous : 1 000 personnes, dont 10 malades, en orange. Dans la réalité, on ne voit pas qui est malade : c’est pour le savoir qu’on teste.
- Clique sur « Faire passer le test » : un anneau jaune entoure chaque personne testée positive.
- Clique sur « Trier » : chacun se range selon sa santé (la ligne) et son résultat (la colonne). Compte les points orange dans la colonne « Test + ».
Compte les points 2de
Après le tri, chaque personne est à sa place. Les deux erreurs possibles du test ont un nom : un faux positif est une personne saine dont le test est positif ; un faux négatif, une personne malade dont le test est négatif. Les autres sont des vrais positifs et des vrais négatifs.
Avec la maladie rare et le test « fiable à 99 % », combien des 20 testés positifs sont vraiment malades ?
Regarde la colonne « Test + » : il y a des points orange et des points bleus. Compte seulement les orange.
99 % des malades ont un test positif, c’est vrai. Mais ici, on se place parmi les positifs : combien de points orange ?
Oui : 10 malades et 10 personnes saines. Le test « fiable à 99 % » se trompe ici une fois sur deux quand il dit « positif » ! Les personnes saines sont 99 fois plus nombreuses que les malades : 1 % de 990, c’est environ 10 faux positifs, autant que de vrais malades.
C’est trop peu : compte encore les points orange de la colonne « Test + ».
Plus rare, plus trompeur ? 2de
La prévalence est la part des malades dans la population. Fais-la varier avec le premier curseur, sans toucher au test, et regarde le cadre « Parmi les testés positifs ».
Ton pronostic : si la maladie ne touche plus qu’une personne sur 1 000, la part des malades parmi les testés positifs va…
C’est noté. Essaie 1 malade sur 1 000, puis 30 % de malades, et compare.
Complète, avec ce que tu as vu sur le banc.
Quand la maladie est rare, la plupart des testés positifs sont . Les personnes saines sont que les malades : même un petit pourcentage d’erreurs chez elles donne faux positifs.
Il reste un trou à remplir.
Règle le banc sur 1 malade sur 1 000 et trie : combien de points orange dans la colonne « Test + », et combien de bleus ?
990 personnes saines contre 10 malades : qui est le plus nombreux ?
1 % de 990 personnes, c’est environ 10 personnes : autant que tous les malades réunis.
C’est l’effet de la prévalence : le même test donne des résultats très différents selon la part de malades.
Comparer avec la règle
Quand la prévalence est faible, les faux positifs viennent d’un très grand groupe, celui des personnes saines : ils peuvent être plus nombreux que les vrais positifs, même avec un très bon test.
Les mots fréquence et probabilité sont flous ? L’atelier de collège « Le hasard a ses lois » les reprend pas à pas.
Palier 2 · ComprendreLe tableau, l’arbre et le « sachant »
Les badges comme 2de disent où chaque outil se trouve dans les programmes. Ce n’est pas une limite : si tu as compris, continue.
Le tableau croisé d’effectifs 2de
Le tableau du banc range les 1 000 personnes selon deux caractères : malade (M) ou saine (S), test positif (+) ou négatif (−). Choisir au hasard une personne parmi les testés positifs, c’est se placer dans la colonne « + ». La probabilité qu’elle soit malade est une probabilité conditionnelle : la probabilité de M sachant +, notée P+(M). On la lit dans le tableau, en ne gardant que la colonne de la condition.
Probabilité conditionnelle, dans un tableau 2de
P+(M) = Card(M ∩ +) / Card(+)
- M
- l’événement « la personne est malade » ; S : « elle est saine ».
- +
- l’événement « son test est positif » ; − : « il est négatif ».
- ∩
- « et » : M ∩ + regroupe les personnes malades et positives. Card compte les personnes.
- P+
- se lit « probabilité … sachant + » : on se place parmi les testés positifs. La condition s’écrit en indice.
Le programme de seconde l’écrit PB(A) = Card(A ∩ B)/Card(B). Sur le banc, à partir de ce palier, la ligne sous le tableau fait ce calcul.
Une maladie touche 20 personnes sur 1 000 ; le test est positif chez 18 malades et chez 49 personnes saines. Que vaut PM(+) ?
18/67, c’est P+(M) : on s’est placé parmi les 67 positifs. Ici, la condition est M : on se place parmi les malades.
Oui : parmi les 20 malades, 18 ont un test positif. PM(+) = 18/20 = 0,9 : c’est la sensibilité du test.
18/1 000, c’est P(M ∩ +) : la probabilité d’être malade et positif, sans condition.
20/1 000, c’est P(M), la prévalence : il n’y est pas question du test.
L’arbre pondéré 2de
L’arbre raconte la même population en deux étapes : d’abord malade ou saine, puis le résultat du test. Sur le banc, passe l’arbre en « Probabilités ». Chaque branche porte une probabilité ; celles de la deuxième étape sont des probabilités conditionnelles : sur la branche qui part de M vers +, on lit PM(+). Pour un chemin, on multiplie les probabilités de ses branches : P(M ∩ +) = P(M) × PM(+).
Complète les deux règles de l’arbre.
Pour obtenir la probabilité d’un chemin, on les probabilités de ses branches. Les probabilités des branches qui partent d’un même nœud ont pour somme .
Il reste un trou à remplir.
Essaie avec le test « fiable à 99 % » : 0,01 + 0,99 = 1. Être malade et positif serait alors certain, plus probable qu’être malade tout court !
Une personne est soit malade, soit saine : P(M) + P(S), ça fait combien ?
Deux branches, mais une seule personne : elle ne peut pas être à la fois malade et saine. Que vaut P(M) + P(S) ?
Ce sont les deux règles de l’arbre pondéré.
Comparer avec la règle
On multiplie le long d’un chemin : P(M ∩ +) = P(M) × PM(+). Les branches d’un même nœud se complètent : P(M) + P(S) = 1 et PM(+) + PM(−) = 1.
Sensibilité et spécificité 2de
Ce sont les deux qualités d’un test, mesurées sur des personnes dont on sait déjà si elles sont malades. La sensibilité est la probabilité qu’un malade ait un test positif : PM(+). La spécificité est la probabilité qu’une personne saine ait un test négatif : PS(−). Ce que la personne testée veut savoir, c’est l’inverse : P+(M), sachant son résultat. On l’appelle la valeur prédictive positive.
Un test a une sensibilité de 90 %. Qu’est-ce que cela veut dire ?
Ça, c’est P+(M). La sensibilité se mesure parmi les malades.
Oui : PM(+) = 0,9. On se place parmi les malades, et on regarde leur résultat.
Un test peut se tromper de deux façons : chez les malades (faux négatifs) et chez les personnes saines (faux positifs). La sensibilité ne parle que des malades.
PM(+) n’est pas P+(M) 2de
Avec le test « fiable à 99 % », sur 10 000 personnes : 99 des 100 malades sont positifs, donc PM(+) = 0,99. Mais il y a aussi 99 faux positifs parmi les 9 900 personnes saines : parmi les 198 positifs, 99 sont malades, donc P+(M) = 0,5. Mêmes personnes, même case du tableau au numérateur, mais on ne divise pas par le même groupe. Le programme de seconde appelle cela l’inversion des conditionnements.
Un titre de journal : « Test fiable à 99 % : un résultat positif, c’est 99 % de risque d’être malade. » Où est l’erreur ?
Oui : 99 %, c’est la part des malades qui sont positifs. La part des positifs qui sont malades dépend de la prévalence : 50 % si 1 personne sur 100 est malade, 9 % si c’est 1 sur 1 000.
Les faux négatifs sont des malades testés négatifs : ils ne changent rien pour une personne testée positive. Que mesure « 99 % » ?
Avec 1 % de malades, le banc donne 10 malades parmi 20 positifs. Est-ce 99 % ?
Des effectifs plutôt que des pourcentages recherche
En 1995, les psychologues Gerd Gigerenzer et Ulrich Hoffrage ont posé 15 problèmes de ce genre à 60 étudiants. Le plus connu porte sur un dépistage par radiographie chez des femmes de quarante ans. Écrit avec des probabilités : 1 % ont la maladie ; 80 % des malades ont un résultat positif ; 9,6 % des femmes saines aussi. Écrit en fréquences naturelles : 10 femmes sur 1 000 ont la maladie ; 8 de ces 10 ont un résultat positif ; 95 des 990 autres aussi.
Avec les probabilités, 16 % des réponses suivaient un raisonnement juste ; avec les fréquences naturelles, 46 %. L’arbre « Effectifs » du banc, c’est cette deuxième façon d’écrire.
En fréquences naturelles, combien de résultats positifs en tout, sur les 1 000 femmes ?
Oui : 8 + 95 = 103. Parmi ces 103 positifs, 8 seulement ont la maladie : P+(M) = 8/103 ≈ 0,078, soit 7,8 %.
Recompte les faux positifs : 9,6 % de 990, c’est environ 95.
95, ce sont seulement les faux positifs. Ajoute les vrais positifs.
8, ce sont seulement les vrais positifs. Ajoute les faux positifs.
Palier 3 · Aller plus loinUn deuxième test, et le choix du public
Refaire le test aux positifs 2de
Un premier test positif ne tranche pas toujours. Si l’on refait le test aux seuls testés positifs, on recommence le même calcul avec une nouvelle population : les positifs, où la part des malades vaut déjà P+(M), bien plus que la prévalence de départ.
Ton pronostic : parmi les personnes positives aux deux tests, la part des malades sera…
C’est noté. Vérifie avec le bouton « Refaire le test aux positifs ».
- Règle le banc avec le bouton ci-dessous : 10 % de malades, un test de sensibilité 90 % et de spécificité 90 %.
- Fais passer le test, trie, et lis la part des malades parmi les positifs.
- Clique sur « Refaire le test aux positifs » : seuls les positifs restent, et ils se rangent selon leur deuxième résultat.
Le calcul suppose que les erreurs du deuxième test ne dépendent pas du premier : c’est une hypothèse du modèle, une indépendance. Si une même cause trompe le test deux fois chez la même personne, refaire le même test ne corrige pas l’erreur : il faut un test dont les erreurs ont d’autres causes. Et le deuxième test a aussi ses faux négatifs : des malades repérés la première fois sont manqués la seconde.
Tester tout le monde, ou ceux qui ont des symptômes ? 2de
Un vrai test, cette fois : le test rapide de la grippe, qui cherche le virus dans un prélèvement fait dans le nez ou la gorge. Une synthèse de 159 études l’a évalué chez des personnes qui avaient des signes de grippe : sensibilité 62,3 %, spécificité 98,2 %.
Pendant l’épidémie de l’hiver 2024-2025, chez les personnes qui consultaient un médecin généraliste pour une infection respiratoire aiguë (fièvre, toux…), 48 % des prélèvements contenaient un virus de la grippe. Imaginons maintenant qu’on teste tout le monde, au hasard, à un moment où 1 % des gens ont la grippe : ce 1 % est une valeur choisie pour l’exemple.
Essaie les deux boutons. Avec la même sensibilité et la même spécificité, la part des vrais grippés parmi les testés positifs est bien plus grande chez les personnes qui consultent en plein hiver. Pourquoi ?
Dans ce calcul, la sensibilité et la spécificité sont les mêmes dans les deux publics. Qu’est-ce qui change, alors ?
Oui, seule la prévalence change : 48 % contre 1 %. Avec 1 % de grippés, presque tout le monde est sain, et 1,8 % d’un très grand groupe, c’est plus que 62,3 % d’un tout petit groupe. Avec 48 %, c’est l’inverse.
Ce n’est pas la personne qui donne le résultat, c’est le test. Qu’est-ce qui change d’un public à l’autre ?
Ce calcul garde la même sensibilité et la même spécificité pour les deux publics. Elles ont été mesurées chez des personnes qui avaient des signes de grippe ; chez des personnes sans aucun signe, elles pourraient être différentes. Le même raisonnement vaut pour tout ce qui classe en deux catégories : un filtre à courriels indésirables, un détecteur à l’aéroport, un contrôle de pièces dans une usine.
Le savais-tu ? La formule de Bayes 1re, Tle
Sans compter de personnes, on peut tout écrire avec des probabilités. Le dénominateur, P(+), s’obtient en ajoutant les deux chemins qui mènent à + : c’est la formule des probabilités totales, au programme de première.
P(+) = P(M) × PM(+) + P(S) × PS(+)
P+(M) = P(M) × PM(+) / P(+)
La seconde ligne est la formule de Bayes (mathématiques complémentaires de terminale). Avec le test « fiable à 99 % » : P(+) = 0,01 × 0,99 + 0,99 × 0,01 = 0,0198, et P+(M) = 0,0099 / 0,0198 = 0,5. Ton tableau d’effectifs fait exactement ce calcul, avec des nombres de personnes.
Pour les curieux, plus tard
Revoir les bases du hasard, ou voir comment une maladie se propage dans une population.
Tes missions
Voici les missions du palier choisi. Réponds, puis clique sur « Valider ma réponse ». Si ce n’est pas encore ça, un indice t’aide. Après trois essais, tu peux voir la solution.
Le savais-tu ?
Des faits vrais, avec les nombres qui les prouvent.
Les mots du module
Chaque mot, en une ou deux phrases.
- Prévalence
- La part des malades dans la population étudiée, à un moment donné : 1 %, c’est 10 personnes sur 1 000.
- Test positif, test négatif
- Le résultat du test : positif s’il signale la maladie, négatif sinon. Un résultat n’est pas une certitude.
- Vrai positif, faux positif
- Un vrai positif est une personne malade dont le test est positif ; un faux positif, une personne saine dont le test est positif.
- Vrai négatif, faux négatif
- Un vrai négatif est une personne saine dont le test est négatif ; un faux négatif, une personne malade dont le test est négatif.
- Sensibilité
- PM(+) : la probabilité qu’un malade ait un test positif. Elle dit si le test repère bien les malades.
- Spécificité
- PS(−) : la probabilité qu’une personne saine ait un test négatif. Elle dit si le test épargne bien les personnes saines.
- Probabilité conditionnelle
- PA(B), la probabilité de B sachant A : on se place parmi les issues de A. Dans un tableau d’effectifs, PA(B) = Card(A ∩ B)/Card(A).
- Tableau croisé d’effectifs
- Un tableau qui range une population selon deux caractères, par exemple malade ou saine et test positif ou négatif, avec les totaux en bord de tableau.
- Arbre pondéré
- Un arbre dont chaque branche porte une probabilité. On multiplie le long d’un chemin ; les branches qui partent d’un même nœud ont pour somme 1.
- Fréquences naturelles
- Des effectifs pris dans une même population de départ (« 8 des 10 malades, 95 des 990 autres ») au lieu de pourcentages. C’est l’arbre « Effectifs » du banc.
- Valeur prédictive positive
- P+(M) : la probabilité d’être malade quand le test est positif. Elle dépend du test et de la prévalence. Le mot est au programme de mathématiques complémentaires de terminale.
- Dépistage, diagnostic
- Dépister, c’est tester des personnes qui n’ont pas de signes de la maladie ; un test diagnostique s’adresse à des personnes qui en ont. La prévalence n’est pas la même dans les deux publics.
Pour les parents et les enseignantsouvrir
Objectifs
- Construire, à partir d’une situation décrite en mots, le tableau croisé d’effectifs et l’arbre pondéré d’un test : prévalence, sensibilité, spécificité.
- Calculer une probabilité conditionnelle dans le tableau (PB(A) = Card(A ∩ B)/Card(B)) et la probabilité d’un chemin de l’arbre (produit des branches).
- Distinguer PM(+), la sensibilité, et P+(M), ce que veut savoir la personne testée : l’inversion des conditionnements.
- Comprendre l’effet de la prévalence : pourquoi la plupart des positifs peuvent être des faux positifs, ce que change un second test, et pourquoi dépister toute une population n’est pas tester des personnes qui ont des symptômes.
Notions
Prévalence ; test positif ou négatif ; vrais et faux positifs, vrais et faux négatifs ; sensibilité, spécificité ; tableau croisé d’effectifs, fréquence conditionnelle ; probabilité conditionnelle et notation PA(B) ; arbre pondéré, produit le long d’un chemin ; fréquences naturelles ; valeur prédictive positive ; hypothèse d’indépendance (second test) ; formule de Bayes, en ouverture.
Déroulé (20 à 30 minutes)
Palier 1 : trier 1 000 personnes et compter les faux positifs, prédire puis observer l’effet de la prévalence. Palier 2 : le tableau croisé, l’arbre pondéré, la notation PA(B), sensibilité et spécificité, l’inversion des conditionnements, les fréquences naturelles. Palier 3 : refaire le test aux positifs, un vrai test (celui de la grippe) dans deux publics, et la formule de Bayes en ouverture.
Les pièges visés
Confondre PM(+) et P+(M) (« fiable à 99 %, donc 99 % de risque ») ; oublier les faux positifs, qui viennent de la grande majorité des personnes saines ; diviser par le mauvais groupe ; additionner les probabilités le long d’un chemin au lieu de les multiplier ; croire que deux tests positifs donnent une certitude, ou les combiner en oubliant la prévalence. Les indices des missions repèrent ces erreurs.
Liens avec les programmes
- Seconde, programme de 2026 (arrêté du 26 février 2026, NOR MENE2602914A ; Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026, p. 332-345), en vigueur à la rentrée 2026. Partie « Probabilités » (p. 345) : « mettre en évidence la problématique de l’inversion des conditionnements » ; « Des situations issues de différents domaines (économique, industriel, médical, etc.) sont proposées. Ce travail permet notamment de donner du sens au vocabulaire des tests diagnostiques : faux positifs, faux négatifs, spécificité et sensibilité d’un test. » Contenus : « Probabilité conditionnelle d’un évènement B sachant un évènement A de probabilité non nulle. Notation PA(B) » ; « Arbres de probabilité ». Capacités attendues, entre autres : « Construire un arbre pondéré ou un tableau en lien avec une situation donnée » ; « Calculer des probabilités conditionnelles lorsque les évènements sont présentés sous forme de tableau croisé d’effectifs » ; « Faire le lien entre la définition des probabilités conditionnelles et la multiplication des probabilités des branches du chemin correspondant » ; « Distinguer en situation PA(B) et PB(A), par exemple dans des situations de type “faux positifs” ». Partie « Croisement de deux variables qualitatives » (p. 344) : tableau croisé d’effectifs, fréquences conditionnelles. Vérifié : texte relu dans le PDF du Bulletin officiel.
- Le même programme précise (p. 345) : « Le calcul de la probabilité d’un évènement connaissant ses probabilités conditionnelles relatives à une partition de l’univers n’est pas un attendu du programme. » En seconde, P(+) se lit donc dans le tableau, en comptant : le module s’y tient partout, et la formule des probabilités totales n’apparaît qu’en ouverture. Vérifié.
- Première, programmes de 2026 (même Bulletin officiel). Spécialité (p. 364) : « Formule des probabilités totales » ; « une hypothèse d’indépendance fait partie d’un modèle », comme pour le second test du palier 3. Mathématiques intégrées à l’enseignement scientifique (p. 351) : « Tests médicaux : faux positifs et faux négatifs » ; « Calculer des probabilités conditionnelles à l’aide d’un tableau croisé d’effectifs ou d’un arbre pondéré ». Vérifié.
- Terminale, en vigueur en 2026-2027. Mathématiques complémentaires (arrêté du 19 juillet 2019, Bulletin officiel spécial n° 8 du 25 juillet 2019), thème « Inférence bayésienne » : « Tests binaires pour le diagnostic médical. Notion de vrais/faux positifs et négatifs, sensibilité, spécificité, valeurs prédictives positive (diagnostique) et négative » ; formule de Bayes. Enseignement scientifique (annexe de l’arrêté du 30 mai 2023, Bulletin officiel n° 25 du 22 juin 2023), thème 3.5 : « produire un tableau de contingence afin de calculer des fréquences de faux positifs, faux négatifs, vrais positifs, vrais négatifs », en lien avec la formule de Bayes. Vérifié : textes relus.
- Pas de plafond : les badges disent où chaque outil se trouve dans les programmes. Un élève de seconde qui a compris le palier 2 peut aborder le palier 3, qui n’utilise que des effectifs.
À faire en vrai
En classe, avec des cartes et un dé : chaque élève tire une carte « malade » ou « sain » (une carte « malade » pour dix, par exemple), puis lance un dé pour le résultat de son test. Une personne saine est positive sur un 6 (spécificité 5/6) ; une personne malade est positive sauf sur un 1 (sensibilité 5/6). On remplit le tableau de la classe, on calcule la part des malades parmi les positifs, puis on regroupe plusieurs classes pour s’approcher des effectifs attendus.
Ce que le module simplifie
Les effectifs du tableau sont des effectifs attendus, arrondis à l’unité : avec 1 000 personnes, une maladie rare ne compte que quelques malades, d’où de petits écarts avec le calcul exact, que le banc signale. Le test « fiable à 99 % » est imaginaire. Pour le test de la grippe, la sensibilité et la spécificité sont des moyennes sur 159 études : elles varient selon le test, l’âge (sensibilité plus faible chez l’adulte que chez l’enfant) et le moment du prélèvement ; le module les garde fixes. La prévalence de 1 % chez « tout le monde » est une hypothèse d’exemple. Le second test suppose des erreurs indépendantes de celles du premier. Ce module n’est pas un outil médical : il ne dit pas quoi faire d’un résultat de test.
Sources
Les effectifs, les probabilités et les réponses des missions viennent du modèle du module (modele.js), vérifié dans node.
- Ministère de l’Éducation nationale. Programme d’enseignement de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique, arrêté du 26 février 2026 (NOR MENE2602914A ; Journal officiel du 27 mars 2026 ; Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026, p. 332-345), en vigueur à la rentrée 2026. Dans le même BO : programmes de première, spécialité (MENE2602917A, p. 354-365) et mathématiques intégrées à l’enseignement scientifique (MENE2602916A, p. 346-353).
- Programme de mathématiques complémentaires de terminale, arrêté du 19 juillet 2019 (Bulletin officiel spécial n° 8 du 25 juillet 2019), thème « Inférence bayésienne » ; programme d’enseignement scientifique de terminale, annexe de l’arrêté du 30 mai 2023 (Bulletin officiel n° 25 du 22 juin 2023), thème 3.5.
- Chartrand C., Leeflang M. M. G., Minion J., Brewer T., Pai M. (2012). Accuracy of rapid influenza diagnostic tests: a meta-analysis. Annals of Internal Medicine 156(7) : 500-511. doi:10.7326/0003-4819-156-7-201204030-00403.
- Équipes de surveillance de la grippe (2025). Surveillance de la grippe en France hexagonale, saison 2024-2025. Bulletin épidémiologique hebdomadaire n° 17 du 14 octobre 2025 : 312-330. Santé publique France.
- Gigerenzer G., Hoffrage U. (1995). How to improve Bayesian reasoning without instruction: frequency formats. Psychological Review 102(4) : 684-704. doi:10.1037/0033-295X.102.4.684.
- National Research Council (2003). The Polygraph and Lie Detection. Washington : The National Academies Press, tableau S-1. doi:10.17226/10420.
- Bayes T. (1763). An essay towards solving a problem in the doctrine of chances, communiqué par R. Price. Philosophical Transactions of the Royal Society of London 53 : 370-418. doi:10.1098/rstl.1763.0053.