Laboratoire interactif · mécanique
La grue et l’équilibre
Une grue à tour soulève des tonnes à 50 m de son mât sans basculer. Son secret : des moments bien équilibrés. Ici, un modèle calcule en direct le moment de chaque masse, l’endroit où tombe la résultante sur l’embase et la marge avant le basculement. Accrochez une charge, poussez le chariot, faites souffler le vent, coupez le limiteur pour l’expérience : voyez quand la grue tient et quand elle bascule.
Avant de commencer · six idées
Force, poids, bras de levier et moment
Une force pousse ou tire. Elle se mesure en newtons (N). Le poids est la force avec laquelle la Terre attire un objet. Une masse de 1 kg pèse environ 9,8 N, et une tonne environ 9,8 kN (1 kN = 1 000 N). La masse, en kg, ne change pas d’un endroit à l’autre ; le poids, en N, dépend de la pesanteur.
Une force qui agit loin d’un axe le fait tourner plus fort. Le bras de levier est la distance entre l’axe et la ligne d’action de la force. Le moment vaut force × bras de levier, en newtons-mètres (N·m). Une tonne à 20 m du mât donne environ 196 kN·m ; à 40 m, le double.
Le centre de gravité est le point où l’on peut considérer que tout le poids d’un objet s’applique. Un objet posé bascule quand la verticale de son centre de gravité sort de sa base d’appui. La grue suit la même règle : la résultante de tous ses poids doit tomber dans son embase.
Pesanteur : g = 9,806 65 m/s², valeur normale adoptée en 1901 (3e CGPM). Grue d’exemple : modèle crane.js, ordres de grandeur d’une grue à tour de chantier de 50 m de flèche, pas une grue réelle. Vent d’arrêt : ordre de grandeur courant des consignes de constructeurs.
Défis
Six énigmes à résoudre sur le chantier. Réglez, puis cliquez sur « Valider ma réponse ». En cas d’erreur, un indice vous aide ; la solution s’affiche après trois essais.
Leviers et moments
Une grue est un immense levier. Pour comprendre comment elle tient debout, il faut d’abord comprendre le levier : une barre qui tourne autour d’un point d’appui. Archimède en a donné la loi il y a plus de 2 200 ans.
La balançoire
Une planche de 6 m pivote en son milieu. Faites glisser les enfants, ou réglez leur masse et leur distance à l’axe. La planche ne reste horizontale que si les moments des deux côtés sont égaux.
La loi du levier
Archimède, savant grec de Syracuse (vers 287 à 212 avant notre ère), démontre dans son traité De l’équilibre des plans que deux poids s’équilibrent quand leurs distances au point d’appui sont inversement proportionnelles à leurs poids.
m₁ × d₁ = m₂ × d₂
Un enfant de 30 kg assis à 2 m de l’axe équilibre donc un enfant de 20 kg assis à 3 m : 30 × 2 = 20 × 3. Le plus léger doit s’asseoir plus loin. Essayez sur la balançoire.
« Donnez-moi un point d’appui… »
On prête à Archimède la phrase : « Donnez-moi un point d’appui, et je soulèverai le monde. » On ne la trouve pas dans ses propres écrits. C’est Pappus d’Alexandrie, plus de cinq siècles plus tard, qui la rapporte dans sa Collection mathématique (livre VIII). Elle dit l’essentiel : avec un bras de levier assez long, une petite force peut équilibrer un poids énorme.
Le prix à payer : le bout du long bras parcourt un long chemin pour soulever un peu le poids. Sans frottement, le travail est le même des deux côtés : force × déplacement.
Trois genres de leviers
Choisissez un objet et déplacez le curseur. Le schéma montre l’appui (triangle), l’effort de la main (jaune) et la résistance de la charge (bleu). La longueur des flèches suit les forces.
Dimensions des objets : valeurs d’exemple. Forces calculées par la loi du levier, sans frottement.
Trois façons de placer l’appui
Levier inter-appui (premier genre) : l’appui est entre l’effort et la charge. Ciseaux, balançoire, pied-de-biche. La grue à tour en est un : le mât est l’appui, la charge est d’un côté, le contrepoids de l’autre.
Levier inter-résistant (deuxième genre) : la charge est entre l’appui et l’effort. Brouette, casse-noix, décapsuleur. Le bras de l’effort est toujours le plus long : on gagne en force.
Levier inter-moteur (troisième genre) : l’effort est entre l’appui et la charge. Pince à épiler, canne à pêche, avant-bras soulevé par le biceps. On perd en force, mais on gagne en vitesse et en précision : les pointes de la pince bougent plus que les doigts.
Dans tous les cas, la même loi s’applique : effort × bras de l’effort = charge × bras de la charge. Le rapport des deux bras de levier dit combien on gagne, ou perd, en force.
La clé et l’écrou
Un écrou grippé ne tourne qu’au-delà de 100 N·m (valeur d’exemple). Réglez la force de la main, l’endroit où elle pousse et l’angle de la poussée. Au-delà de 25 cm, un tube prolonge la clé.
Le moment d’une force
Le moment d’une force mesure son effet de rotation autour d’un axe. Il vaut la force multipliée par le bras de levier : la distance entre l’axe et la ligne d’action de la force, mesurée à angle droit. Il s’exprime en newtons-mètres (N·m).
M = F × d × sin α
Si l’on pousse de travers, seule compte la distance perpendiculaire, d × sin α. À angle droit, sin α = 1 : c’est le plus efficace. Tirer dans l’axe du manche ne fait rien tourner du tout.
Un objet immobile a des moments qui s’annulent : ceux qui tournent dans un sens compensent ceux qui tournent dans l’autre. C’est la condition d’équilibre en rotation, celle qui garde la grue debout.
Pour la grue d’exemple, une tonne à 20 m du mât donne 9,8 kN × 20 m ≈ 196 kN·m vers la flèche. Le contrepoids de 18 t, à 13 m de l’autre côté, donne environ 2 295 kN·m vers l’arrière.
Sources : Archimède, De l’équilibre des plans, livre I, propositions 6 et 7 (loi du levier) ; Pappus d’Alexandrie, Collection mathématique, livre VIII (la phrase attribuée à Archimède) ; Meriam, Kraige et Bolton, Engineering Mechanics: Statics (moment d’une force, leviers). Dimensions des objets et couple de l’écrou : valeurs d’exemple.
Le centre de gravité
Tout objet se comporte comme si son poids entier s’appliquait en un seul point : son centre de gravité. Où est-il ? Pourquoi un objet bascule-t-il ? La réponse tient en une règle simple, qui vaut pour une armoire, une tour penchée ou une grue.
Suspendre une plaque
Une plaque de contreplaqué faite de carrés de 10 cm. Touchez un carré pour y planter un clou : la plaque pivote jusqu’à ce que son centre de gravité soit juste sous le clou, et un fil à plomb trace la verticale. Recommencez depuis un autre carré : les fils se croisent au centre de gravité.
Une moyenne pondérée
Le centre de gravité d’un ensemble de masses est leur position moyenne, où chaque masse compte selon son poids :
x_G = (m₁x₁ + m₂x₂ + …) / (m₁ + m₂ + …)
C’est le calcul que fait le laboratoire, pour la plaque comme pour la grue (fonction cg de crane.js). Chaque carré de la plaque compte pour une masse égale, placée en son milieu.
La méthode du fil à plomb
Suspendu par un point, un objet tourne jusqu’à ce que son centre de gravité soit à la verticale, sous ce point. Là, son poids ne crée plus aucun moment. Deux suspensions donnent deux verticales : le centre de gravité est à leur croisement.
Le centre de gravité n’est pas forcément dans la matière. Celui d’un U, d’un anneau ou d’un boomerang tombe dans le vide. Essayez la forme en U.
Basculer ou pas
Un objet est posé sur une planche que l’on incline. Une cale l’empêche de glisser. Levez la planche : l’objet bascule quand la verticale de son centre de gravité sort de sa base.
Dimensions : exemples. Objets rigides, masse répartie uniformément (sauf l’armoire chargée en bas, dont le centre de gravité est à 0,6 m).
La règle du basculement
Un objet posé tient debout tant que la verticale de son centre de gravité tombe dans sa base d’appui : son poids le plaque alors contre le sol. Dès qu’elle en sort, le poids crée un moment qui le fait tourner autour du bord : il bascule.
Sur une pente d’angle α, un bloc de largeur b, dont le centre de gravité est à la hauteur h, bascule quand :
tan α > (b / 2) / h
Plus le centre de gravité est bas et la base large, plus l’objet est stable. C’est pourquoi on range les objets lourds en bas d’une armoire, et pourquoi on fixe au mur les meubles hauts.
Et la grue ?
La grue obéit à la même règle. Son embase fait 6 m de côté : la résultante de tous les poids, en comptant le vent, doit tomber à moins de 3 m de l’axe du mât. Sa position vaut x = M / P : le moment total divisé par le poids total.
Le lest de base ne crée presque aucun moment, mais il alourdit la grue. Pour un même moment, la résultante s’écarte donc moins de l’axe. Tant qu’elle reste dans le tiers central de l’embase, à moins de 1 m de l’axe, toute l’embase reste appuyée (règle du tiers central, avec une pression répartie en ligne droite sous l’embase).
Le surplomb des blocs
Empilez des blocs identiques, un par étage, au bord d’une table. Faites glisser chaque bloc vers la droite. Jusqu’où le bloc du haut peut-il dépasser de la table sans que rien ne tombe ?
Jusqu’où peut-on dépasser ?
À chaque étage, le centre de gravité de tous les blocs du dessus doit tomber sur le bloc du dessous, au pire juste à son bord. En partant du haut, on peut décaler chaque bloc de 1/2, puis 1/4, puis 1/6, puis 1/8 de sa longueur, et ainsi de suite.
surplomb maximal = ½ × (1 + ½ + ⅓ + … + 1/n) = ½ Hn
Avec 4 blocs, le bloc du haut dépasse déjà entièrement la table : ½ H₄ ≈ 1,04 longueur de bloc. La somme Hn, appelée nombre harmonique, grandit sans limite, mais très lentement : il faut 31 blocs pour dépasser de 2 longueurs, et 227 pour 3.
Ce problème classique a été décrit par Paul Johnson en 1955 dans une revue de physique. En 2009, Mike Paterson et Uri Zwick ont montré qu’on fait bien mieux en posant parfois plusieurs blocs côte à côte au même étage, comme dans un mur : le surplomb peut alors croître comme la racine cubique de n.
La tour de Pise
Le clocher de la cathédrale de Pise a commencé à pencher pendant sa construction, au XIIe siècle : le sol mou, fait d’argiles et de sables, s’est tassé davantage d’un côté. Les bâtisseurs ont corrigé la pente des étages suivants, si bien que la tour est légèrement courbée.
Son centre de gravité tombe encore dans sa base : elle ne bascule pas comme un bloc sur une planche. Le danger venait du sol, qui cédait peu à peu sous le côté penché. Plus elle penchait, plus elle appuyait de ce côté, et plus elle penchait.
Fermée au public en 1990, la tour a été stabilisée jusqu’en 2001. Les ingénieurs ont notamment retiré avec précaution un peu de terre sous le côté nord, qui s’est tassé à son tour : la tour s’est légèrement redressée. Elle penche aujourd’hui d’environ 4°.
Sources : centre de gravité et basculement, Meriam, Kraige et Bolton, Engineering Mechanics: Statics ; règle du tiers central, Das, Principles of Foundation Engineering ; empilement de blocs, Johnson (1955) et Paterson et Zwick (2009) ; tour de Pise, Burland, Jamiolkowski et Viggiani (2003). Dimensions de la plaque, des armoires et du carton : valeurs d’exemple.
Poulies et palans
Une grue ne soulève pas sa charge à bout de bras. Un moteur enroule un câble d’acier sur un tambour, et ce câble passe dans un jeu de poulies, le moufle. Plus il y a de brins, moins il faut de force. Mais il faut tirer plus de câble.
Le palan
Choisissez le nombre de brins qui portent la charge, puis hissez-la. Regardez les repères sur le câble : il défile plus vite que la charge ne monte.
Formule du modèle (crane.js) : F = W / (n · ηⁿ), avec W = m · g, n brins et n poulies, chacune de rendement η. Rendements par poulie : 0,98 sur roulements, 0,96 sur paliers lisses (ordres de grandeur des règles de calcul des appareils de levage). Le moufle et le crochet ne sont pas pesés ici. Dessin schématique : les poulies d’un même bloc sont en réalité montées sur un même axe.
La poulie fixe
Une poulie accrochée en haut ne réduit pas l’effort. Elle change sa direction : on tire vers le bas pour lever vers le haut, en s’aidant de son propre poids. Réglez le palan sur 1 brin : l’effort est égal au poids, frottement en plus.
La poulie mobile
Accrochez maintenant la poulie à la charge et fixez un bout de la corde en haut. La charge pend sur deux brins, qui portent chacun la moitié du poids. Mais pour lever la charge de 1 m, il faut raccourcir les deux brins de 1 m : on tire 2 m de corde.
Le moufle
Un moufle réunit plusieurs poulies dans deux blocs, l’un fixe et l’autre mobile. Avec n brins porteurs, l’effort est divisé par n environ. En échange, la longueur de câble à tirer est multipliée par n.
F × (n × h) = W × h
Le travail, une force multipliée par une distance, reste le même : ce que l’on gagne en force, on le paie en longueur de câble. Chaque poulie frotte un peu. Plus il y a de poulies, plus le rendement baisse : avec 8 brins sur roulements, il tombe à 85 %.
Beaucoup de grues à tour peuvent travailler en 2 ou en 4 brins. En 4 brins, elles lèvent plus lourd, mais deux fois moins vite.
Le treuil et son réducteur
Le câble du palan s’enroule sur un tambour. Un moteur électrique le fait tourner à travers un réducteur, une suite d’engrenages. Changez le rapport du réducteur et le diamètre du tambour.
Le rapport d’un engrenage et l’échange entre vitesse et couple sont expliqués dans le laboratoire Engrenages et horlogerie.
Valeurs d’exemple : moteur asynchrone à 4 pôles sur le réseau à 50 Hz, environ 1 450 tr/min. Réducteur supposé sans pertes, câble enroulé en une seule couche. Couple sur le tambour = F × rayon ; couple du moteur = couple du tambour / rapport ; vitesse du câble = π × diamètre × tours par seconde.
Archimède et le navire du roi
Plutarque raconte qu’Archimède aurait affirmé au roi Hiéron de Syracuse qu’avec une force donnée, on peut déplacer n’importe quel poids. Pour le prouver, il aurait tiré seul, assis, un navire marchand chargé à trois mâts, à l’aide d’un palan à plusieurs poulies. Un autre auteur, Athénée, relie Archimède au Syracusia, un navire géant du roi, mis à l’eau grâce à une de ses machines.
Ces récits ont été écrits plus de trois siècles après la mort d’Archimède. C’est une légende, sans doute embellie. Mais le principe est juste : avec assez de poulies, une seule personne peut équilibrer un très grand poids, à condition de tirer une très grande longueur de corde.
Les palans romains
Au Ier siècle avant J.-C., l’architecte romain Vitruve décrit les machines de levage dans le livre X de son traité De architectura. Le trispastos a trois poulies, le pentaspastos en a cinq. Pour les charges plus lourdes, le treuil à bras est remplacé par une grande roue dans laquelle marchent des hommes. Vitruve décrit aussi le polyspastos, un palan à nombreuses poulies ; les historiens donnent souvent ce nom à la grande grue romaine à roue.
Cette roue à cage est un treuil géant. Les hommes montent sur ses marches : leur poids, placé loin de l’axe, fait tourner l’arbre sur lequel s’enroule la corde. Un bas-relief romain du tombeau des Haterii, vers l’an 100, en montre une en action.
Le moteur remplace les hommes
Dans une grue moderne, un moteur tourne vite mais avec peu de couple. Le réducteur échange de la vitesse contre du couple, comme le palan échange de la vitesse contre de la force. Au bout de la chaîne, le crochet monte lentement avec une grande force.
Choisir le câble
Un câble doit pouvoir porter plusieurs fois l’effort qu’il subit : c’est le coefficient de sécurité. Quel diamètre faut-il pour cette charge ?
Modèle (crane.js) : effort T donné par le palan, contrainte = T / (π d² / 4) calculée sur tout le disque du câble. Le câble réel contient moins d’acier, à cause des vides entre les fils. Charge de rupture ≈ 0,5 × d² kN (d en mm) : ordre de grandeur pour des câbles de levage courants ; la vraie valeur est donnée par la fiche du fabricant.
Des fils, des torons, un câble
Un câble d’acier est fait de fils fins tordus ensemble en torons, eux-mêmes tordus autour d’une âme. Le premier câble de ce type a été fabriqué en 1834 par Wilhelm Albert, ingénieur des mines de Clausthal, dans le Harz, pour remplacer les chaînes qui cassaient dans les puits.
Les fils sont en acier très dur : leur résistance à la traction atteint souvent 1 770 à 1 960 N/mm². Un câble de 12 mm peut porter plus de 7 tonnes avant de rompre (ordre de grandeur).
Le coefficient de sécurité
charge de rupture ≥ k × effort
On ne fait jamais travailler un câble près de sa rupture. Il s’use en passant sur les poulies, se plie, rouille, subit des à-coups. En Europe, la directive Machines fixe en règle générale un coefficient de 5 pour un câble métallique et ses attaches. Pour les câbles de levage des grues, les normes demandent de 3,15 à 9 selon l’intensité du service.
Diviser l’effort par deux avec un moufle permet un câble plus fin : la section varie comme le carré du diamètre. Deux fois moins d’effort, c’est un diamètre environ 1,4 fois plus petit.
Les câbles sont inspectés souvent. On compte les fils cassés visibles sur une longueur donnée et on mesure le diamètre. Au-delà des seuils fixés par la norme, le câble est remplacé.
Sources : modèle du laboratoire (crane.js : palan F = W / (n · ηⁿ), contrainte T / section, charge de rupture ≈ 0,5 · d² kN en ordre de grandeur) ; Plutarque, Vie de Marcellus, 14 (Archimède et le navire à trois mâts) ; Athénée, Deipnosophistes, livre V (le Syracusia de Hiéron II) ; Vitruve, De architectura, livre X, chapitre 2 (trispastos, pentaspastos, polyspastos, roue à cage) ; bas-relief du tombeau des Haterii, Rome, vers 100 apr. J.-C., musées du Vatican ; W. Albert (1835), Archiv für Mineralogie, Geognosie, Bergbau und Hüttenkunde 8 (câble de Clausthal, 1834) ; directive 2006/42/CE « Machines », annexe I, 4.1.2.5 (coefficient d’utilisation de 5 pour les câbles) ; ISO 4308-1 (choix des câbles des appareils de levage) ; ISO 4309 (examen et dépose des câbles) ; EN 12385-4 (classes de résistance des fils, 1 770 et 1 960 N/mm²) ; DIN 15020-1 (rendement des poulies : 0,98 sur roulements, 0,96 sur paliers lisses).
Grues d’hier et d’aujourd’hui
Depuis l’Antiquité, on lève les pierres avec des poulies et la force des hommes. Aujourd’hui, les grues soulèvent des centaines de tonnes. Des capteurs et des automates veillent pour qu’elles ne basculent jamais : limiteur de moment, anémomètre, stabilisateurs.
Vingt-cinq siècles de grues
Touchez une époque pour voir comment on levait les charges.
Le limiteur de moment
Choisissez la charge et la portée du chariot sur la grue à tour d’exemple, ou touchez la courbe. Coupez le limiteur pour voir ce qu’il empêche.
Grue d’exemple (crane.js) : flèche de 50 m, mât de 40 m, embase de 6 m, contrepoids de 18 t, lest de 60 t, moufle et crochet de 300 kg. Courbe de charge : 8 t jusqu’à 15 m, puis 120 t·m divisés par la portée. Alarme à 90 % et coupure à 100 % : valeurs d’exemple. Basculement calculé sans vent, sans balancement ni à-coups.
Deux limites sur une courbe
La courbe de charge dit ce que la grue peut lever à chaque portée. Près du mât, c’est le crochet, le câble et le treuil qui limitent : 8 t pour la grue d’exemple. Plus loin, c’est le moment, la charge multipliée par la portée : 120 t·m. À 50 m, il ne reste que 2,4 t.
Le limiteur
Des capteurs mesurent sans cesse la charge au crochet et la position du chariot. Quand le moment approche de la limite, une alarme prévient le grutier. Quand il l’atteint, le limiteur coupe la montée de la charge et l’avance du chariot.
Il laisse faire les gestes qui soulagent la grue : descendre la charge, ramener le chariot vers le mât. Les normes européennes des grues imposent ces dispositifs.
Une marge bien plus grande
Sans limiteur, la grue d’exemple ne basculerait qu’avec 8,8 t en bout de flèche : presque quatre fois la charge permise. Cette marge couvre ce que le calcul simple ignore : les à-coups du levage, le balancement de la charge, le vent, la fatigue du métal. Et bien avant de basculer, la flèche ou le mât peuvent plier.
Le vent sur la flèche
La force du vent grandit comme le carré de sa vitesse. Faites souffler le vent sur la grue d’exemple, ou touchez la courbe.
Modèle (crane.js) : F = ½ ρ v² Cx S, avec ρ = 1,225 kg/m³ (air à 15 °C au niveau de la mer, atmosphère type), Cx = 1,6 et des surfaces au vent de 25 m² pour la flèche et 12 m² pour la contre-flèche (ordres de grandeur). Vent uniforme, appliqué à 40 m de haut. Seuil d’arrêt vers 72 km/h : ordre de grandeur des consignes de constructeurs, chaque grue a le sien. Échelle de Beaufort de l’Organisation météorologique mondiale.
Pourquoi s’arrêter vers 72 km/h ?
Deux fois plus de vent, c’est quatre fois plus de force. Une flèche de 50 m présente au vent des dizaines de mètres carrés de treillis, et cette force s’exerce à 40 m de haut. Le moment qu’elle crée au pied du mât s’ajoute à celui de la charge.
La plupart des constructeurs demandent d’arrêter le travail quand le vent dépasse environ 72 km/h, soit 20 m/s. C’est un ordre de grandeur : chaque grue a sa consigne, écrite dans sa notice. Sur l’échelle de Beaufort, c’est un coup de vent, force 8.
Un anémomètre tout en haut
Un anémomètre est fixé au sommet de la grue, là où le vent souffle le plus fort. Il déclenche une alarme au-delà d’un premier seuil, puis la consigne d’arrêt. Les charges à grande surface, comme les panneaux de coffrage, prennent beaucoup de vent : on ne les lève que par vent faible.
La mise en girouette
Vue de dessus, par tempête. Libérez le frein d’orientation : la grue tourne toute seule et se place sous le vent. Touchez le dessin pour choisir d’où vient le vent.
Animation qualitative : la vitesse de rotation n’est pas à l’échelle. Force en travers = ½ ρ (v sin φ)² Cx S, où φ est l’angle entre la flèche et la direction du vent ; surfaces supposées réparties le long de la flèche (poussée à 25 m du mât) et de la contre-flèche (7,5 m). La poussée le long de la flèche est négligée.
La nuit, la grue tourne avec le vent
Le soir, le grutier pose la charge, remonte le crochet et libère le frein d’orientation. La partie tournante de la grue devient libre, comme une girouette. Quand le vent change de direction, elle tourne pour se placer sous le vent.
Pourquoi la flèche part-elle sous le vent ? Elle est plus longue que la contre-flèche et offre plus de surface. Le vent la pousse plus fort, avec un plus grand bras de levier. Elle finit alignée avec le vent, du côté où il va.
Ainsi placée, la grue ne reçoit plus le vent de travers. Au frein serré, elle devrait encaisser tout le couple du vent dans son mécanisme d’orientation et dans sa structure. C’est pourquoi les notices imposent la mise en girouette hors service.
Grue mobile sur stabilisateurs
Vue de dessus. Faites tourner la flèche, en touchant le dessin ou avec le curseur. Le point jaune est le centre de gravité de l’ensemble : tant qu’il reste dans le rectangle des patins, la grue tient.
Grue mobile d’exemple (crane.js) : porteur de 36 t, contrepoids de 8 t à 4 m de l’axe, flèche de 6 t avec son centre de gravité à mi-portée. Patins aux coins d’un rectangle de 6 m × 7 m, ou 3 m × 7 m à moitié sortis. Marge = distance du centre de gravité au bord le plus proche du rectangle ; négative, la grue bascule. Flèche rigide, sol parfaitement dur. Orientation : 0° vers l’arrière, 180° vers la cabine.
La plus grande portée
Les stabilisateurs
Une grue mobile arrive sur ses roues. Avant de lever, elle sort ses stabilisateurs : quatre bras qui s’écartent sur les côtés, et quatre vérins qui soulèvent le camion. La grue s’appuie alors sur quatre patins, aux coins d’un grand rectangle.
Tant que le centre de gravité de l’ensemble, grue et charge, reste dans ce rectangle, la grue tient. S’il en sort, elle bascule autour de la ligne qui joint deux patins.
Le côté, point faible
Le rectangle des patins est souvent plus étroit que long. Quand la flèche passe sur le côté, le centre de gravité s’approche vite du bord. Avec des stabilisateurs à moitié sortis, dans une rue étroite par exemple, la charge permise baisse beaucoup. Chaque grue a donc une courbe de charge pour chaque position de ses stabilisateurs.
Certaines grues récentes mesurent la position de chaque stabilisateur et calculent en direct la charge permise dans chaque direction.
Le sol doit tenir
Tout le poids passe par les patins, et surtout par ceux qui sont du côté de la charge. Sur un sol mou, un patin peut s’enfoncer, et la grue penche puis bascule. On pose donc les patins sur de larges plaques qui répartissent la force sur le sol.
Sources : modèle du laboratoire (crane.js : grue à tour et grue mobile d’exemple, courbe de charge, force du vent, basculement) ; Coulton J.J. (1974), Lifting in early Greek architecture, Journal of Hellenic Studies 94, 1–19 ; Vitruve, De architectura, livre X ; bas-relief du tombeau des Haterii, vers 100 apr. J.-C., musées du Vatican ; Matthies A.L. (1992), Medieval treadwheels: artists’ views of building construction, Technology and Culture 33, 510–547 ; Dombauverwaltung Köln, histoire du chantier de la cathédrale de Cologne (grue de la tour sud, démontée en 1868) ; Musée maritime national de Gdańsk (grue du port, 1442 à 1444) ; Oxford Dictionary of National Biography, William George Armstrong (grue hydraulique de Newcastle, 1846) ; Liebherr, histoire de l’entreprise (TK 10, 1949) et fiche technique LR 13000 ; EN 14439 (grues à tour), EN 13000 (grues mobiles) et EN 12077-2 (limiteurs et indicateurs) ; Organisation météorologique mondiale, échelle de Beaufort ; notices de constructeurs de grues à tour (arrêt vers 72 km/h, mise en girouette, ordres de grandeur).
Glossaire
Les mots du laboratoire, en une phrase chacun.
- Bras de levier
- Distance entre l’axe de rotation et la ligne d’action d’une force, mesurée à angle droit.
- Centre de gravité
- Point où l’on peut considérer que tout le poids d’un objet s’applique : la moyenne des positions de ses masses.
- Coefficient de stabilité
- Moment stabilisant divisé par le moment de renversement. Sous 1, la grue bascule.
- Contre-flèche
- Bras court de la grue, du côté opposé à la flèche. Il porte le treuil et le contrepoids.
- Contrepoids
- Blocs de béton au bout de la contre-flèche. Ils équilibrent la flèche et une partie de la charge.
- Courbe de charge
- Charge maximale permise selon la portée. Près du mât, elle est limitée par le crochet ; plus loin, par le moment nominal.
- Embase
- Pied de la grue, posé au sol, qui porte le mât et le lest. Ici, un carré de 6 m de côté.
- Flèche
- Long bras horizontal de la grue à tour, sur lequel roule le chariot. Pour une grue mobile, bras incliné et télescopique.
- Force, poids et masse
- Une force se mesure en newtons (N). Le poids est la force de la pesanteur sur une masse : P = m × g, soit 9,8 N par kilogramme.
- Mise en girouette
- Grue hors service, l’orientation est laissée libre : la flèche tourne avec le vent et lui présente le moins de prise.
- Lest de base
- Blocs lourds posés sur l’embase. Ils alourdissent la grue et la rendent plus difficile à renverser.
- Levier
- Barre qui tourne autour d’un point d’appui. Selon la place de l’appui, de l’effort et de la charge : inter-appui, inter-résistant ou inter-moteur.
- Limiteur de charge et de moment
- Dispositif de sécurité qui coupe le levage, ou l’avance du chariot, quand la charge dépasse la courbe de charge.
- Moment d’une force
- Effet de rotation d’une force autour d’un axe : force × bras de levier, en newtons-mètres (N·m).
- Moment nominal
- Produit charge × portée que la grue ne doit pas dépasser, en tonnes-mètres (t·m). Grue d’exemple : 120 t·m.
- Moufle et brins
- Bloc de poulies qui porte le crochet. Le câble y fait plusieurs allers-retours, les brins : plus il y en a, moins le treuil tire fort.
- Portée
- Distance horizontale entre l’axe de rotation de la grue et le crochet.
- Résultante
- Force unique qui a le même effet que toutes les autres réunies. Pour la grue, le poids total, placé là où son moment égale le moment total.
- Stabilisateurs
- Bras qui sortent du camion d’une grue mobile et posent des patins au sol, pour élargir sa base d’appui.
- Tiers central
- Zone centrale d’une semelle, large du tiers de son côté. Si la résultante y tombe, toute la semelle reste appuyée au sol.
Sources, modèle et limites
Le chantier calcule une grue à tour d’exemple et une grue mobile d’exemple (fichier crane.js) : moments des poids et du vent autour de l’axe du mât, résultante sur l’embase, courbe de charge, centre de gravité sur stabilisateurs. Il donne les bons ordres de grandeur et les bonnes tendances, pas la stabilité d’une vraie grue.
Ce que le modèle simplifie
- Grue rigide et charges statiques : ni balancement de la charge, ni effets du démarrage ou du freinage, ni déformation de la flèche et du mât.
- Tout se passe dans un seul plan vertical : la flèche, la charge et le vent. L’embase est réduite à un appui de 6 m de large, posé sans ancrage : la grue bascule quand la résultante sort de l’embase.
- Le tiers central (zone verte) suppose une pression répartie en ligne droite sous l’embase. Au-delà, l’embase se soulève d’un côté : la grue tient encore, mais la marge fond.
- Masses, positions et surfaces au vent : ordres de grandeur d’une grue de 50 m, pas les données d’un constructeur. Courbe de charge de 8 t au crochet et 120 t·m : valeurs d’exemple. Le moufle et le crochet (300 kg) sont comptés dans les moments, pas dans la courbe.
- Vent uniforme, appliqué en haut du mât sur la flèche et la contre-flèche, avec un coefficient de traînée de 1,6 (ordre de grandeur). Pas de vent sur le mât ni sur la charge. Arrêt vers 20 m/s : ordre de grandeur des consignes de constructeurs.
- Palans : rendement de 0,98 par poulie (ordre de grandeur). Sur une vraie grue, le nombre de brins change aussi la capacité du crochet ; pas ici.
- Grue mobile : patins aux coins d’un rectangle ; elle bascule quand son centre de gravité sort du rectangle, et la marge est la distance au bord le plus proche. Le seuil de 0,5 m est une valeur d’exemple du laboratoire, pas une règle officielle. Le sol est supposé assez solide sous les patins.
- Le limiteur coupe le levage au-delà de la courbe et bloque le chariot. Le couper n’est possible ici que pour l’expérience ; sur un vrai chantier, c’est interdit.
- Archimède (IIIe siècle avant notre ère). De l’équilibre des plans, livre I, propositions 6 et 7. In Heath T.L. (1897), The Works of Archimedes, Cambridge University Press. Loi du levier.
- Pappus d’Alexandrie (IVe siècle). La Collection mathématique, livre VIII. Trad. Ver Eecke P. (1933), Desclée de Brouwer. La phrase « Donnez-moi un point d’appui… » attribuée à Archimède.
- Meriam J.L., Kraige L.G., Bolton J.N. (2015). Engineering Mechanics: Statics, 8th ed. Wiley. Moment d’une force, équilibre, leviers, centres de gravité, basculement.
- Das B.M. (2011). Principles of Foundation Engineering, 7th ed. Cengage Learning. Semelles chargées avec excentricité : toute la semelle reste comprimée si l’excentricité ne dépasse pas le sixième de sa largeur (tiers central).
- EN 14439:2006+A2:2009. Appareils de levage à charge suspendue : sécurité, grues à tour. Exige notamment des limiteurs de charge et de moment. La grue d’exemple n’en reprend que l’idée ; ses valeurs sont des ordres de grandeur.
- EN 1991-1-1:2002. Eurocode 1 : actions sur les structures, poids volumiques et poids propres. Béton courant 24 kN/m³, béton armé 25 kN/m³ : masses de la benne et du mur préfabriqué.
- EN 10365:2017. Profilés en acier laminés à chaud : dimensions. Poutre HEB 300 : 117 kg par mètre.
- Johnson P.B. (1955). Leaning Tower of Lire. American Journal of Physics 23(4):240. Empilement de blocs : surplomb de ½ Hn.
- Paterson M., Zwick U. (2009). Overhang. American Mathematical Monthly 116(1):19–44. Rappel du résultat classique ½ Hn, et piles à plusieurs blocs par étage dont le surplomb croît comme n^(1/3).
- Burland J.B., Jamiolkowski M., Viggiani C. (2003). The stabilisation of the Leaning Tower of Pisa. Soils and Foundations 43(5):63–80. Histoire de l’inclinaison, rôle du sol, extraction de terre sous le côté nord.
- 3e Conférence générale des poids et mesures (1901). Valeur normale de l’accélération de la pesanteur : 9,806 65 m/s².
⚠ Sécurité. Ne restez jamais sous une charge suspendue : une élingue peut lâcher, une charge peut tourner ou tomber. Les chantiers sont interdits au public ; on n’y entre pas, même pour regarder une grue de près. Couper un limiteur est interdit : ce laboratoire ne le permet que pour montrer ce qu’il empêche.