Laboratoire interactif · mécanique
Oscillations et chaos
Avant de commencer · cinq idées
Période, fréquence, amplitude, pulsation, énergie
Une oscillation est un mouvement qui se répète : aller, retour, aller… La période T est la durée d’un aller-retour complet, en secondes.
La fréquence f = 1/T compte les allers-retours par seconde, en hertz (Hz). Deux allers-retours par seconde, c’est 2 Hz, et donc T = 0,5 s.
L’amplitude est le plus grand écart à la position de repos : un angle pour un pendule, une distance pour un ressort. Les physiciens utilisent aussi la pulsation ω = 2πf, en radians par seconde : un aller-retour compte comme un tour de cercle, 2π radians.
Pendant une oscillation, l’énergie change sans cesse de forme : énergie de mouvement (cinétique) au passage par le bas, énergie de position (potentielle) aux extrémités. Le frottement en retire un peu à chaque aller-retour.
Périodes : formule 2π√(L/g) des petites oscillations, calcul du modèle. Pesanteur : valeur normale pour la Terre (CGPM 1901), fiche planétaire de la NASA pour la Lune. Balancement latéral de la marche : Dallard et al. (2001).
Au fil du temps
La position de la masse en fonction du temps, calculée pas à pas. Survolez la courbe pour lire les valeurs.
Portrait de phase
Énergie (modèle)
Défis
Six énigmes à résoudre sur le banc. Réglez, puis cliquez sur « Valider ma réponse ». En cas d’erreur, un indice vous aide ; la solution s’affiche après trois essais.
Le pendule
Une masse au bout d’un fil, écartée puis lâchée : c’est le plus simple des oscillateurs. Galilée y a vu une horloge, Huygens en a construit une, et Foucault s’en est servi pour montrer que la Terre tourne.
L’isochronisme
Vers 1602, Galilée remarque qu’un pendule met le même temps pour un grand ou un petit balancement. Il appelle cette propriété l’isochronisme : « même durée ». Il la décrit à nouveau en 1638, dans ses Discours sur deux sciences nouvelles.
Il note aussi que la durée ne dépend que de la longueur du fil : pour doubler la durée d’une oscillation, il faut un fil quatre fois plus long. La formule des petites oscillations le dit en une ligne :
T₀ = 2π · √(L / g)
La masse n’y figure pas. Une masse deux fois plus lourde est deux fois plus attirée vers le bas, mais aussi deux fois plus difficile à mettre en mouvement : les deux effets s’annulent, comme dans la chute des corps. La pesanteur g, elle, compte : sur la Lune, le même pendule oscille bien plus lentement.
Le pendule qui bat la seconde
Pour que chaque aller, d’un côté à l’autre, dure exactement une seconde, il faut une période de 2 s. La formule donne alors L = g / π², soit 0,994 m sur Terre : un peu moins d’un mètre.
Ce pendule a longtemps servi d’étalon. Huygens proposait même d’en tirer une unité de longueur universelle, que tout le monde pourrait reconstruire avec un fil et une horloge.
0,994 m : calcul avec la valeur normale g = 9,806 65 m/s². La pesanteur varie un peu d’un lieu à l’autre de la Terre, et la longueur du pendule qui bat la seconde avec elle.
Période et amplitude
Combien de fois la vraie période dépasse celle des petites oscillations, selon l’angle de lancement. Faites glisser pour lire les valeurs.
Les grandes oscillations
La formule 2π√(L/g) repose sur une approximation : pour un petit angle, sin θ ≈ θ. Pour un grand angle, le calcul exact fait appel à une intégrale elliptique, notée K :
T = 4 · √(L / g) · K(sin(θ₀ / 2))
À 10°, la vraie période ne dépasse la formule simple que de 0,2 %. À 90°, de 18 %. Près de 180°, quand la masse part presque à la verticale au-dessus du pivot, la période devient infinie : la masse hésite longtemps en haut avant de retomber. Galilée se trompait donc un peu : l’isochronisme ne vaut que pour les petits angles.
Jusqu’à 40° environ, l’approximation T ≈ T₀ · (1 + θ₀²/16), avec θ₀ en radians, reste juste à 0,1 % près.
L’horloge de Huygens
En 1656, Christiaan Huygens a l’idée de confier la mesure du temps à un pendule. À chaque balancement, un échappement laisse avancer les rouages d’un cran, et donne au passage une petite poussée qui entretient l’oscillation. Ses horloges sont bien plus régulières que celles de son temps.
En 1673, dans son Horologium Oscillatorium, il va plus loin. Il sait que les grandes oscillations durent plus longtemps. Il démontre qu’une masse qui suit une cycloïde, et non un arc de cercle, oscille avec une durée parfaitement indépendante de l’amplitude. Pour s’en approcher, il fait passer le fil entre deux lames courbes.
Il y étudie aussi le pendule composé : un objet réel, et non une masse ponctuelle, qui oscille comme un pendule simple d’une certaine longueur.
Le pendule de Foucault
En 1851, Léon Foucault suspend une lourde boule à un long fil, d’abord chez lui, puis à l’Observatoire de Paris, enfin sous la coupole du Panthéon. Le plan dans lequel le pendule oscille tourne lentement, dans le sens des aiguilles d’une montre. Le pendule garde sa direction : c’est la Terre qui tourne en dessous.
À Paris, un tour complet du plan demande environ 32 heures : un jour sidéral (23 h 56 min) divisé par le sinus de la latitude, 48,85°. Au pôle, il faudrait un jour sidéral ; à l’équateur, le plan ne tourne pas du tout.
Explication qualitative : le banc ne simule pas la rotation de la Terre. 32 heures : calcul, 23,93 h / sin(48,85°) ≈ 31,8 h.
Mesurer g avec un chronomètre
Choisissez un astre et une longueur. Démarrez le chrono quand la masse franchit le repère vers la droite, arrêtez-le au 10e passage dans le même sens. Le compteur compte les passages pour vous.
Peser la pesanteur avec une ficelle
Retournons la formule : g = 4π² · L / T². Un fil, une règle et un chronomètre suffisent pour mesurer la pesanteur.
Votre temps de réaction, au départ et à l’arrivée, fausse le chronométrage de quelques dixièmes de seconde. Sur une seule période de 2 s, c’est une grosse erreur. Sur dix périodes, la même erreur pèse dix fois moins : chronométrez toujours plusieurs allers-retours.
Mieux encore : mesurez la période pour plusieurs longueurs, et placez T² en fonction de L. Les points s’alignent sur une droite qui passe par zéro, de pente 4π²/g. La droite moyenne les erreurs de chaque mesure.
Le pendule du chronomètre est lancé à 5°, sans frottement : sa période dépasse la formule des petits angles de 0,05 % seulement (calcul du modèle).
Sources du chapitre : Galilée (1638) ; Huygens (1673) ; Landau et Lifchitz, Mécanique, § 11, pour la période exacte ; Foucault (1851). Valeurs chiffrées : calculs du modèle (oscillations.js). Références complètes en bas de page.
Ressorts et résonance
Un ressort qui rebondit, une voiture qui passe sur une bosse, une balançoire qu’on pousse : les mêmes équations décrivent ces oscillations. Le frottement les éteint ; une poussée au bon rythme les fait grandir. C’est la résonance, tantôt utile, tantôt dangereuse.
La loi de Hooke
En 1678, Robert Hooke publie sa loi de l’élasticité sous la forme d’une devise latine : ut tensio, sic vis, « telle extension, telle force ». La force d’un ressort est proportionnelle à son allongement :
F = −k · x
La raideur k, en newtons par mètre, dit quelle force il faut pour allonger le ressort d’un mètre. Le signe moins rappelle que la force ramène toujours la masse vers l’équilibre.
Une masse m accrochée à ce ressort oscille avec la période T = 2π√(m/k). Contrairement au pendule, cette période ne dépend pas de l’amplitude, tant que le ressort reste élastique. Elle ne dépend pas non plus de la pesanteur, qui déplace seulement la position d’équilibre.
L’équation de tous les oscillateurs
Ajoutons un frottement proportionnel à la vitesse, et une force qui pousse la masse périodiquement. La loi de Newton s’écrit :
m·x″ = −k·x − b·x′ + F₀·cos(ωt)
Le premier terme rappelle la masse vers l’équilibre, le deuxième la freine, le troisième la pousse. On note ω₀ = √(k/m) la pulsation propre, celle des oscillations libres, et γ = b/m le taux d’amortissement.
Pour les petits angles, le pendule obéit à la même équation, avec g/L à la place de k/m. C’est pour cela qu’une seule théorie décrit les horloges, les ressorts, les circuits électriques et les ponts.
Les trois régimes d’amortissement
Une masse lâchée à l’écart x₀, sans vitesse. Les trois courbes pointillées sont les trois régimes ; la courbe pleine suit votre réglage. Le temps est compté en périodes propres T₀.
Revenir au repos
Avec peu de frottement (γ < 2ω₀), la masse oscille de moins en moins fort : c’est le régime pseudo-périodique. Avec beaucoup de frottement (γ > 2ω₀), elle revient sans osciller, mais lentement : c’est le régime apériodique.
Entre les deux, pour γ = 2ω₀, l’amortissement critique donne le retour le plus rapide sans jamais dépasser l’équilibre. Dans le graphique, le rapport ζ = γ/2ω₀ vaut alors exactement 1.
On résume souvent le frottement par le facteur de qualité Q = ω₀/γ. À chaque période, un oscillateur peu amorti perd environ 2π/Q de son énergie. Un diapason a un Q très élevé et sonne longtemps ; l’amortissement critique correspond à Q = 1/2.
Si l’on tolère un petit dépassement, un amortissement un peu plus faible que le critique entre même plus vite dans une marge donnée autour de l’équilibre. Essayez ζ = 0,8 et comparez le temps de retour à 2 % près.
La courbe de résonance
Amplitude du régime permanent, rapportée à l’écart statique A(0) = F₀/k, puis retard de la masse sur la force. Choisissez le facteur de qualité ; faites glisser pour déplacer la fréquence du forçage.
La résonance
Poussons la masse avec une force périodique de pulsation ω. Après un régime transitoire, la masse oscille au rythme de la force, avec une amplitude et un retard qui dépendent de ω :
A(ω) = (F₀/m) / √((ω₀² − ω²)² + (γω)²)
Bien en dessous de ω₀, la masse suit la force sans retard. Bien au-dessus, elle n’arrive plus à suivre : son amplitude s’effondre et elle bouge à contretemps, avec un retard de 180°. Près de ω₀, l’amplitude passe par un maximum, à ω = √(ω₀² − γ²/2) : c’est la résonance.
À ω₀ exactement, le retard vaut 90° : la force pousse toujours dans le sens du mouvement, et chaque poussée ajoute de l’énergie. Plus Q est grand, plus le pic est haut (environ Q fois l’écart statique) et étroit (largeur voisine de ω₀/Q).
Des résonances de tous les jours
Pour faire monter une balançoire, on la pousse une fois par aller-retour, juste quand elle repart. De petites poussées suffisent : chacune ajoute de l’énergie au bon moment. L’amplitude grandit jusqu’à ce que le frottement retire autant d’énergie qu’on en apporte.
Un enfant qui se balance seul, en pliant et dépliant les jambes, s’y prend autrement : il change la longueur du pendule qu’il forme, deux fois par aller-retour. C’est une autre forme de résonance, dite paramétrique (Landau et Lifchitz, § 27).
Une voiture est une masse posée sur des ressorts. Sans amortisseurs, elle rebondirait longtemps après chaque bosse. L’amortisseur est un piston qui traverse de l’huile : il freine la caisse d’autant plus qu’elle bouge vite, comme le frottement du modèle. Réglé près de l’amortissement critique, il évite les rebonds.
Deux ponts célèbres
La passerelle du Millénaire, à Londres, ouvre le 10 juin 2000. Avec la foule, elle se met à osciller de côté. Chaque pas pousse un peu la passerelle sur le côté. Dès qu’elle bouge, les piétons écartent les pieds pour garder l’équilibre et marchent en cadence avec elle, ce qui la pousse encore plus. Au-delà d’un certain nombre de piétons, l’effet s’emballe (Dallard et al., 2001).
La passerelle ferme deux jours après son ouverture. Elle rouvre en 2002, équipée d’amortisseurs.
Le 7 novembre 1940, le pont suspendu de Tacoma Narrows, aux États-Unis, s’effondre après s’être tordu longuement sous un vent soutenu. On le cite souvent comme un exemple de résonance, comme si le vent avait soufflé au rythme du pont. C’est inexact. Billah et Scanlan (1991) expliquent qu’il s’agit d’un flottement aéroélastique : en se tordant, le tablier changeait lui-même les forces du vent, qui lui rendaient de l’énergie à chaque torsion.
Ce mouvement s’entretient tout seul : il n’a pas besoin d’une force extérieure au bon rythme. C’est une auto-oscillation, plus proche d’un drapeau qui claque au vent que d’une balançoire qu’on pousse.
Le banc ne simule pas ces ponts : il montre la résonance d’un oscillateur simple.
Sources du chapitre : Hooke (1678) ; Landau et Lifchitz, Mécanique, § 21 à 27 ; Dallard et al. (2001) ; Billah et Scanlan (1991). Courbes : calculs du modèle (oscillations.js). Références complètes en bas de page.
Pendules couplés
Accrochez deux pendules identiques côte à côte et reliez-les par un ressort souple. Lancez-en un seul : peu à peu, il s’arrête et l’autre se met à osciller. Puis tout recommence dans l’autre sens. L’énergie fait des allers-retours entre les deux.
Deux pendules, un ressort
Choisissez un lancer, ou faites glisser une masse de côté puis lâchez-la. Les courbes du dessous suivent l’énergie de chaque pendule.
L’énergie passe de l’un à l’autre
Modèle : deux pendules simples de 0,5 m et 0,2 kg, ressort accroché au niveau des masses, sans frottement, g = 9,80665 m/s². Lancer à 10°. Énergie d’un pendule : mouvement plus hauteur. La part gardée par le ressort n’est pas comptée.
Le battement
Lancez le pendule 1 seul. À chaque aller-retour, le ressort tire un peu sur le pendule 2, toujours au bon moment. Comme une balançoire poussée en rythme, le pendule 2 part de plus en plus loin. Pendant ce temps, le pendule 1 ralentit.
Quand le pendule 1 est presque arrêté, les rôles s’inversent. Ce va-et-vient régulier de l’énergie s’appelle un battement. Sa durée, du pendule 1 en plein mouvement au pendule 1 de nouveau en plein mouvement, est la période du battement.
Deux mouvements simples : les modes propres
Il existe deux façons de lancer les pendules pour que l’énergie reste en place. En phase, les deux partent ensemble du même côté. Le ressort ne s’étire jamais : chaque pendule oscille comme s’il était seul.
En opposition, ils partent en sens contraires. Le ressort tire sur chacun à chaque instant et accélère le mouvement : l’oscillation est un peu plus rapide. Ces deux mouvements s’appellent les modes propres. Leurs pulsations, pour de petits angles :
ω1 = √(g / L) · ω2 = √(g / L + 2κ / m)
période du battement = 2π / (ω2 − ω1)
Tout mouvement est un mélange
N’importe quel lancer est la somme des deux modes. Lancer le pendule 1 seul à 10°, c’est ajouter le mode en phase (5° pour chacun) et le mode en opposition (+5° et −5°). Au départ, les deux modes s’ajoutent sur le pendule 1 et s’annulent sur le pendule 2.
Mais le mode en opposition va un peu plus vite. Il prend de l’avance, et au bout d’un moment, c’est sur le pendule 2 que les modes s’ajoutent. Plus le ressort est souple, plus les deux rythmes sont proches, et plus le battement est lent. Essayez avec le curseur.
La « sympathie » des horloges de Huygens
En février 1665, Christiaan Huygens est malade et garde la chambre. Deux de ses horloges à pendule y sont accrochées à la même poutre. Il remarque que leurs balanciers finissent toujours par battre en sens contraires, parfaitement réglés l’un sur l’autre. S’il en dérange un, ils retrouvent ce rythme commun au bout d’un moment.
Huygens parle d’une « sympathie » entre les horloges. Il l’attribue aux tout petits mouvements de la poutre qui les relie : elle joue le rôle de notre ressort. En 2002, des physiciens d’Atlanta ont refait l’expérience avec deux horloges sur un support mobile et observé le même accord.
Attention : notre modèle ne se synchronise pas. Pour cela, il faut des frottements et le mécanisme qui entretient chaque horloge. Ici, sans frottement, l’énergie passe d’un pendule à l’autre pour toujours.
Où trouve-t-on des oscillateurs couplés ?
- Dans les molécules. Dans le dioxyde de carbone (CO₂), les deux liaisons entre le carbone et l’oxygène sont couplées. Elles vibrent en phase ou en opposition, deux modes de fréquences différentes. Le mode en opposition absorbe la lumière infrarouge, le mode en phase non : les chimistes s’en servent pour reconnaître les molécules.
- Dans les circuits électriques. Deux circuits oscillants placés côte à côte échangent leur énergie par leur champ magnétique, comme nos pendules. La bobine Tesla et les filtres des récepteurs radio utilisent ce couplage.
- Le pendule de Wilberforce. Une masse suspendue à un ressort monte et descend, puis se met peu à peu à tourner sur elle-même, puis recommence à monter et descendre. L’énergie passe d’un mouvement à l’autre, comme entre nos deux pendules.
Ce que le modèle simplifie
- Les formules des modes supposent de petits angles. Le calcul, lui, garde le vrai sinus : comparez le battement prévu et le battement mesuré dans le tableau.
- Aucun frottement : de vrais pendules s’amortissent peu à peu et finissent par s’arrêter.
- Le ressort n’a pas de masse et reste accroché au niveau des masses des pendules.
- La synchronisation de Huygens demande des horloges entretenues et un support qui bouge : elle n’est pas dans ce modèle.
Sources : Huygens C., Œuvres complètes, tome V (1893), lettres de février et mars 1665 ; Bennett M., Schatz M.F., Rockwood H., Wiesenfeld K. (2002), Huygens’s clocks, Proc. R. Soc. Lond. A 458:563–579 ; Feynman R.P., Leighton R.B., Sands M. (1963), The Feynman Lectures on Physics, vol. I, chap. 49 (modes, pendules couplés) ; Wilberforce L.R. (1894), On the vibrations of a loaded spiral spring, Phil. Mag. 38:386–392 ; Berg R.E., Marshall T.S. (1991), Wilberforce pendulum oscillations and normal modes, Am. J. Phys. 59:32–38 ; Herzberg G. (1945), Infrared and Raman Spectra of Polyatomic Molecules. g = 9,80665 m/s² : valeur normale (CGPM 1901).
Le chaos
Un double pendule, c’est un pendule accroché au bout d’un autre. Ses équations sont connues et ne laissent aucune place au hasard. Pourtant, lancez-en deux presque identiques : au bout de quelques secondes, ils n’ont plus rien en commun.
Deux doubles pendules presque jumeaux
Le pendule jaune et le pendule bleu partent des mêmes angles, à un minuscule écart près sur le bras du haut. Réglez les angles et l’écart, ou faites glisser une masse.
Valeurs calculées par le modèle pour ces réglages. Écart : √(Δθ1² + Δθ2²). Seuil « visible » choisi : 0,1 rad, environ 6°. Modèle : bras de 1 m sans masse, masses de 1 kg, sans frottement, Runge-Kutta d’ordre 4 au pas de 1 ms.
Restez ensemble 20 secondes
Avec un écart de départ d’au moins 10⁻³ rad, trouvez des angles de départ pour que les deux pendules restent ensemble pendant 20 s (écart sous 0,1 rad). Réglez, puis validez.
Un écart qui explose
Au début, les deux pendules sont l’un sur l’autre : on n’en voit qu’un. L’écart entre eux est invisible, mais il grandit, et de plus en plus vite. Chaque fois qu’il est multiplié par 10, il lui faut à peu près le même temps pour être encore multiplié par 10 : c’est une croissance exponentielle.
Au bout d’une vingtaine de secondes, les deux mouvements n’ont plus rien à voir. L’écart cesse alors de grandir : il ne peut pas dépasser la taille du pendule. On dit qu’il sature.
Plus de précision ne suffit pas
Diminuez l’écart de départ : les pendules restent ensemble plus longtemps, mais à peine. Le tableau sous le graphique le calcule pour votre lancer. Avec un départ 1 000 fois plus précis, on ne gagne que quelques secondes.
Déterministe, mais imprévisible
Rien n’est laissé au hasard : cliquez sur « Recommencer », et le calcul redonne exactement le même mouvement. On dit que le système est déterministe : le départ décide de toute la suite.
Mais pour prévoir loin, il faudrait connaître le départ avec une précision parfaite. Aucune mesure n’en est capable. Au-delà d’un certain temps, la prévision devient impossible. Déterministe ne veut pas dire prévisible.
Écart entre les deux pendules
Échelle logarithmique : chaque graduation multiplie l’écart par 100. Une droite qui monte veut dire une croissance exponentielle.
Précision du départ et durée de prévision
Pour vos angles de départ, moment où l’écart dépasse 0,1 rad, selon l’écart de départ. Calcul du modèle, jusqu’à 60 s.
Contrôle : l’énergie du calcul
Sans frottement, l’énergie totale de chaque pendule doit rester constante. Voici de combien le calcul s’en écarte, par rapport à l’énergie du lancer.
Est-ce la faute de l’ordinateur ?
Un ordinateur arrondit toujours un peu ses calculs. Et si la séparation venait de là ? Deux contrôles disent que non.
D’abord, l’énergie. Sans frottement, elle doit rester constante. Dans le calcul, elle ne varie que de quelques milliardièmes au plus : la courbe ci-contre reste plate, pendant que l’écart entre les pendules est multiplié par des milliards.
Ensuite, la finesse du calcul. Refaites-le avec un pas de temps deux fois plus petit : les pendules se séparent au même moment. Les deux pendules sont d’ailleurs calculés de la même façon, avec les mêmes arrondis. Ce qui les sépare, c’est leur petit écart de départ, amplifié par la physique du double pendule.
Des expériences avec de vrais doubles pendules montrent la même sensibilité au départ (Shinbrot et al., 1992).
Ordre ou chaos : la section de Poincaré
Le double pendule tourne longtemps. Chaque fois que le bras du haut passe par la verticale en allant vers la droite, on note l’angle et la vitesse du bras du bas : cela fait un point. En jaune, le lancer choisi. En gris, d’autres lancers de même énergie.
Petits angles : un mouvement régulier
Lancé doucement, le double pendule reste sage. Son mouvement mélange deux rythmes, comme nos pendules couplés : il est quasi périodique. Sur la section, chaque lancer dessine une courbe fermée. Deux lancers voisins restent voisins : leur écart grandit lentement, sans s’emballer.
Grands angles : le chaos
Lancé haut, le pendule fait des tours complets, dans un sens puis dans l’autre, sans jamais se répéter. Sur la section, les points s’éparpillent sur toute une zone : c’est la signature du chaos. À énergie moyenne, on voit les deux : des îlots réguliers au milieu d’une mer chaotique.
Comment lire cette figure
Une section de Poincaré ne montre pas tout le mouvement. C’est une série de photos prises toujours au même moment du cycle, un peu comme un flash stroboscopique. Un mouvement régulier repasse toujours sur la même courbe. Un mouvement chaotique ne repasse jamais par le même chemin. L’idée vient d’Henri Poincaré.
L’effet papillon, une longue histoire
- 1890. Pour un concours du roi de Suède, Henri Poincaré étudie trois astres qui s’attirent, comme le Soleil, la Terre et la Lune. En corrigeant une erreur de son mémoire, il découvre des trajectoires d’une complexité inouïe. Il écrira plus tard : « On sera frappé de la complexité de cette figure, que je ne cherche même pas à tracer. »
- 1908. Dans Science et méthode, Poincaré résume : « Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. »
- 1961 et 1963. Le météorologue Edward Lorenz relance un calcul de météo simplifiée en recopiant un nombre arrondi : 0,506 au lieu de 0,506127. Les deux prévisions se suivent, puis s’écartent. L’écart double environ tous les quatre jours simulés, et au deuxième mois, plus rien ne se ressemble. Il publie son analyse en 1963.
- 1972. Lorenz intitule une conférence : « Le battement d’ailes d’un papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ? » Il ne prétend pas qu’un papillon fabrique des tornades. Il dit qu’un écart aussi petit suffit à rendre la météo imprévisible à long terme.
Ce que le modèle simplifie
- Bras rigides sans masse, masses ponctuelles, pivots sans frottement. Un vrai double pendule perd peu à peu son énergie et finit par s’arrêter.
- Le seuil « visible » de 0,1 rad est un choix. Le temps de séparation affiché en dépend un peu.
- Les temps affichés sont des sorties du modèle pour ces réglages, pas des mesures sur un vrai pendule.
- L’ordinateur garde environ 16 chiffres. Un écart de 10⁻¹² rad reste donc bien plus grand que ses arrondis.
Sources : Poincaré H. (1890), Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique, Acta Mathematica 13:1–270 ; Poincaré H. (1899), Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, tome III, § 397 ; Poincaré H. (1908), Science et méthode, livre I, chap. IV « Le hasard » ; Lorenz E.N. (1963), Deterministic nonperiodic flow, J. Atmos. Sci. 20:130–141 ; Lorenz E.N. (1993), The Essence of Chaos, University of Washington Press ; Shinbrot T., Grebogi C., Wisdom J., Yorke J.A. (1992), Chaos in a double pendulum, Am. J. Phys. 60:491–499 ; équations du double pendule : Goldstein H., Classical Mechanics. Contrôle du modèle : lancés à 120° et −10°, écartés de 10⁻⁹ rad, les bras du haut diffèrent de 3·10⁻³ rad après 16 s et de 0,06 rad après 20 s.
Glossaire
Les mots du laboratoire, en une phrase chacun.
- Amortissement
- Perte d’énergie d’un oscillateur, due au frottement : ses oscillations deviennent de plus en plus petites.
- Amortissement critique
- Frottement juste suffisant pour que l’oscillateur revienne à l’équilibre sans le dépasser, le plus vite possible : γ = 2ω₀, soit Q = 1/2.
- Amplitude
- Plus grand écart à la position de repos pendant une oscillation : un angle pour un pendule, une distance pour un ressort.
- Battements
- Variation lente de l’amplitude quand deux oscillations de fréquences voisines s’ajoutent : l’énergie passe de l’une à l’autre.
- Chaos
- Comportement d’un système déterministe si sensible à son état de départ qu’un écart minuscule finit par tout changer, ce qui rend la prévision impossible à long terme.
- Double pendule
- Un pendule accroché au bout d’un autre. Régulier aux petits angles, il devient chaotique lancé de haut.
- Énergie cinétique
- Énergie due au mouvement : ½·m·v². Elle est maximale quand la masse passe par l’équilibre.
- Énergie potentielle
- Énergie due à la position : hauteur de la masse pour un pendule, ½·k·x² pour un ressort. Elle est maximale aux extrémités.
- Facteur de qualité Q
- Nombre Q = ω₀/γ qui mesure le faible frottement d’un oscillateur : plus il est grand, plus les oscillations durent et plus la résonance est haute et étroite.
- Fréquence
- Nombre d’allers-retours par seconde, f = 1/T, en hertz (Hz).
- Fréquence propre
- Fréquence à laquelle un oscillateur vibre seul, sans forçage ni frottement : √(k/m)/2π pour un ressort, √(g/L)/2π pour un pendule.
- Isochronisme
- Propriété d’un oscillateur dont la période ne dépend pas de l’amplitude. Vraie pour un ressort idéal, approchée pour un pendule aux petits angles.
- Loi de Hooke
- La force d’un ressort est proportionnelle à son allongement : F = −k·x.
- Modes propres
- Façons d’osciller d’un système de plusieurs oscillateurs où toutes les parties bougent à la même fréquence.
- Oscillation forcée
- Oscillation entretenue par une force périodique extérieure. En régime permanent, elle se fait au rythme de cette force.
- Période
- Durée d’un aller-retour complet, en secondes.
- Portrait de phase
- Graphique de la vitesse en fonction de la position : une oscillation y trace une boucle fermée, une oscillation amortie une spirale.
- Pulsation
- ω = 2πf, en radians par seconde : la fréquence comptée en tours de cercle.
- Régimes pseudo-périodique et apériodique
- Retour à l’équilibre en oscillant de moins en moins (frottement faible), ou sans osciller (frottement fort).
- Régime permanent
- État atteint par un oscillateur forcé une fois les effets du lancer éteints : son amplitude ne change plus.
- Résonance
- Forte augmentation de l’amplitude quand la fréquence du forçage approche la fréquence propre de l’oscillateur.
- Retard (déphasage)
- Décalage entre la force et le mouvement qu’elle entretient, en degrés : 0° à basse fréquence, 90° à la fréquence propre, 180° à haute fréquence.
- Séparatrice
- Dans le portrait de phase du pendule, courbe qui sépare les balancements des tours complets autour du pivot.
Sources, modèle et limites
Le banc repose sur un modèle de mécanique (fichier oscillations.js) : équations du mouvement du pendule simple, de la masse sur un ressort et du double pendule, intégrées pas à pas par la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4. La période exacte du pendule vient d’une intégrale elliptique. Le modèle a été vérifié : la simulation retrouve cette formule, et le pic de résonance tombe là où la théorie le place.
Ce que le modèle simplifie
- Pendule simple : masse ponctuelle au bout d’un fil rigide et sans masse, pivot parfait. Le fil reste tendu même quand la masse passe au-dessus du pivot.
- Frottement : une force proportionnelle à la vitesse, −b·v. L’air réel freine de façon plus compliquée, surtout aux grandes vitesses.
- Forçage : force F₀·cos(ωt) appliquée à la masse, le long de sa trajectoire. Pour le pendule, la courbe de résonance affichée est celle des petits angles, alors que le banc calcule le mouvement complet.
- Ressort idéal : loi de Hooke exacte à toute amplitude, masse du ressort négligée. La pesanteur ne fait que déplacer l’équilibre.
- Double pendule : deux masses égales au bout de deux bras égaux de L/2, rigides et sans masse. Le frottement agit sur la vitesse angulaire de chaque bras. Pas de forçage.
- Calcul : Runge-Kutta d’ordre 4 à pas fixe, de 1 ms au plus, plus fin pour un oscillateur rapide. Pour le double pendule sans frottement, la mesure « dérive relative de l’énergie » affiche en direct l’erreur de calcul.
- Période mesurée : passages par zéro d’une simulation du même modèle, moyenne des trois premières périodes. Amplitude mesurée : plus grand écart sur une période du forçage, retenu quand il change de moins de 0,3 % d’une période à l’autre.
- Les valeurs des situations (balançoire, voiture, ressorts) sont des exemples. Pesanteur : valeur normale pour la Terre ; fiches planétaires de la NASA pour la Lune, Mars et Jupiter (Jupiter : à l’équateur, au niveau où la pression vaut 1 bar).
- Le chronomètre du chapitre 01 dépend de votre temps de réaction : c’est voulu.
- La rotation de la Terre (Foucault) et les ponts du chapitre 02 ne sont pas simulés.
- Galilei G. (1638). Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze. Leyde, Elzevier. Première journée : isochronisme du pendule, durée proportionnelle à la racine carrée de la longueur.
- Huygens C. (1673). Horologium Oscillatorium. Paris, F. Muguet. Horloge à pendule (inventée en 1656), cycloïde isochrone, pendule composé, unité de longueur tirée du pendule.
- Hooke R. (1678). Lectures de Potentia Restitutiva, or of Spring. Londres, J. Martyn. « Ut tensio, sic vis ».
- Foucault L. (1851). Démonstration physique du mouvement de rotation de la Terre au moyen du pendule. Comptes rendus de l’Académie des sciences 32:135–138.
- Goldstein H., Poole C., Safko J. (2002). Classical Mechanics, 3e éd. Addison-Wesley. Équations de Lagrange du double pendule, petites oscillations.
- Landau L., Lifchitz E. (1976). Mechanics, 3e éd. (Cours de physique théorique, vol. 1). Pergamon. § 11 : période du pendule et intégrale elliptique ; § 21 à 26 : oscillations libres, forcées, amorties, résonance ; § 27 : résonance paramétrique.
- Dallard P., Fitzpatrick A.J., Flint A., Le Bourva S., Low A., Ridsdill Smith R.M., Willford M. (2001). The London Millennium Footbridge. The Structural Engineer 79(22):17–33.
- Billah K.Y., Scanlan R.H. (1991). Resonance, Tacoma Narrows bridge failure, and undergraduate physics textbooks. American Journal of Physics 59(2):118–124.
- NASA Goddard Space Flight Center, D.R. Williams. Planetary Fact Sheets : Moon, Mars, Jupiter. Pesanteur à la surface : 1,62 ; 3,71 ; 24,79 m/s².
- BIPM (1901). Comptes rendus de la 3e Conférence générale des poids et mesures : valeur normale de l’accélération de la pesanteur, 9,806 65 m/s².